Kritiek op het Freudenthal Instituut

Overige ‘uitspraken-rekenen’-blogs

______________________________________________

Kritiek op de vernieuwingen (3)

Kritiek op het Freudenthal Instituut

_______________________________________________

Kritiek op het Freudenthal Instituut vindt men in:     *Mad Math en Math War (Themanummer Onderwijskrant)*

Uitvoerige kritiek op het Freudenthal Instituut en op het reken/wiskunde-onderwijs, ondersteund met referenties, vindt men op de *website* van Ben Wilbrink. Ben Wilbrink is onderwijsonderzoeker. Hij was werkzaam op het Kohnstamm Instituut.

In PPON 1997 werd vastgesteld dat de resultaten nog een stuk lager waren dan die van 1986; dit ondanks de grote investering in geld en energie in de ‘realistische’ hervorming. Ook de alternatieve aanpak van het cijferen bleek catastrofaal.

“Wat in de zeventiger jaren een praktische opstelling was – niet eerst wetenschappelijk onderzoek, maar meteen nieuw rekenonderwijs ontwerpen – is ten onrechte ook de erop volgende decennia het credo van OW&OC / Freudenthal Instituut / FIsme gebleven.”
Paul van der Bijl

“De constructivistische visie van boegbeeld Freudenthal, maar evenzeer zijn bevlogenheid en betweterij en zijn aversie voor alles wat te maken had met leerpsychologie, leidden tot eenzijdige opvattingen.”
Raf Feys, Pieter van Biervliet

“De inspectie heeft het realistisch rekenen op scholen en bij leerkrachten altijd gepropageerd. Omdat het ministerie de aanpak van het Freudenthal Instituut ook financieel sterk steunde kon het een monopoliepositie krijgen in Nederland.“
Paul Van Dam (Hij was hoofd afdeling basisonderwijs van de Cito)

“Ook beweert hij [Treffers] dat er geen draagvlak is voor de mening van Van de Craats dat het rekenonderwijs mede dankzij het Freudenthal Instituut totaal in de soep is gelopen. Ik kan hem meedelen dat ik geen enkele serieuze wiskundige ken die daar anders over denkt dan Van de Craats.”
Willem R. van Zwet (hoogleraar wiskunde)

“Door bemoeienis van het Freudenthal Instituut is rekenen vervangen door raadseltjes, vaak slecht geformuleerd – een ramp voor de wiskunde, waar juist alles in het werk wordt gesteld om dubbelzinnigheid uit te sluiten.”
Vincent Icke (Hoogleraar sterrenkunde)

“In alle sectoren van de maatschappij die met het basisonderwijs te maken hebben wordt het cijferen afgedaan als het Sodom en Gomorra van het rekenen. Het is mechanistisch. Het is koopmansrekenen. Het is het gebruik van trucjes. “
Rob Milikowski (De rekencentrale)

“De intuïtieve en inzichtelijke aanpak van het FI klinkt verder wel mooi, maar suggereert dat elke opgave zijn eigen ‘heldere ingeving van het moment’ vereist.”
Kees Kan, Onderwijzer

“Men zegt dat kinderen veel meer inzicht hebben, maar wat heb je aan inzicht als je er niet door leert rekenen? Is het laten opdreunen van tafels niet langer belangrijk als je weet dat ieder kind het op den duur zal weten voor de rest van zijn leven?”
Uit ingezonden brief van een kritische lezer aan de redactie van Willem Bartjens, jg. 19 nr.4

 

Paul van Dam (Hij was hoofd afdeling basisonderwijs van de Cito)

• Wat is er de voorbije decennia al niet gedaan om het rekenonderwijs te verbeteren? Er is zelfs een heel instituut voor opgericht, het Freudenthal Instituut. Als ik alle onderzoeksresultaten zie en de rapportages bekijk van de inspectie, dan is de opbrengst echter niet om over naar huis te schrijven. Nog steeds zijn er grote aantallen leerlingen die eenvoudige sommen niet kunnen maken.
• Voor bewerkingen als optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen haalde minder dan 30 procent van de kinderen in 2004 de norm, en dat was duidelijk slechter dan in het eerste PPON-rapport van 1986. Voor cijferend rekenen scoren de leerlingen bijzonder zwak. De leerlingen die de door het FI gepropageerde alternatieve aanpak van het cijferen toepassen slagen er zelfs meestal niet in een correcte berekening te maken.

 

Marisca Milikowski (Psycholoog, gespecialiseerd in rekenen en dyscalculie. Zij is werkzaam bij de Rekencentrale, een instituut voor diagnostiek en onderzoek van rekenproblemen. Ze is medeauteur van ‘De gelukkige rekenklas’)

[Op zoek naar het verdronken kalf]

• In november van 2007 zat ik in het gehoor van Marjolein Kool, hoofdredactrice van “Volgens Bartjens‟, toen zij in Ede een zaal vol in rekenen geïnteresseerde leerkrachten toesprak. Ze had een filmpje gemaakt om te laten zien wat er gebeurde als je de tafels hardop oefende: je werd er dom van. Ten bewijze van die stelling had ze twee kinderen gefilmd. De ene wist uit haar hoofd wat 6×7 was maar kon niet rekenen. De andere kende de tafelsommen niet uit zijn hoofd, maar rekende ze handig uit. “Hoed u voor klakkeloos oefenen”. Die redeneerwijze kende ik al uit de geschriften van het TAL-team. Een intelligente nietkenner van de tafels wordt daarin vergeleken met een minder intelligente wel-kenner, met als suggestie: tafels stampen is slecht voor het rekenbegrip.
• Aan deze belevenissen moest ik denken toen ik onlangs las dat staatssecretaris Sharon Dijksma het Freudenthal Instituut geld heeft gegeven om te zorgen voor meer oefening in het rekenonderwijs. Las ik dit goed? Eerst geld voor het graven van de put, dan geld voor het dempen ervan?
• Routines zoals spellen, en het correct combineren van cijfers, knechten niet het intellect maar stellen het juist vrij van sloofjeswerk: van het telkens opnieuw, levenslang, moeten “uitvinden” van de uitkomst van 6×7.
• Al bijna twintig jaar doet men bij het Freudenthal Instituut geen onderzoek meer dat uit kan maken wie er in een bepaalde controverse gelijk heeft. Het instituut is niet onfeilbaar, maar meent zelf van wel en is machtig. De wijze waarop de Freudenthal beweging haar opvattingen verspreid, en de manier waarop ze omgaat met meningverschillen, doen meer denken aan een kerk dan aan een instituut ten dienste van het algemeen belang. De overheid moet met haar geld geen eenpartijstaat voor het rekenen blijven onderhouden.
• Er is mij maar één deugdelijk onderzoek bekend waarbij de oude en de nieuwe methode zijn vergeleken, de zogeheten More-toetsen uit 1993 van nota bene het Freudenthal Instituut zelf. Daaruit bleek dat het traditionele onderwijs beter scoorde in het aanleren van de basisautomatismen, en ook op het punt van handig rekenen. Dat onderzoek is in een diepe la verdwenen, en sindsdien is het een soort mantra geworden: ‘Het realistisch rekenen sluit beter aan bij de belevingswereld van het kind en is dus beter’. Bewijzen zijn er niet; er is van allerlei vaagheden een soepje gekookt dat iedereen heeft te slikken.
• Het grootste probleem is dat er geen concurrentie meer bestaat tussen didactieken, maar dat slechts één didactiek dominant is. Deze situatie is aan het einde van de jaren 80 ontstaan, toen ontstond er een ‘bolwerk’ van realistisch rekenen, waartegen kritiek niet werd geaccepteerd.
• De realistische didactiek zoals deze wordt toegepast is schadelijk. Uit de cognitieve psychologie blijkt dat het beter is om eerst routines en automatismen op te bouwen. De geheugencapaciteit wordt dan beter benut en de routinematig opgebouwde kennis kan worden gebruikt om moeilijkere opdrachten op te lossen.
• Automatismen zijn geen domme kennis, kinderen kunnen daar handig mee rekenen.

 

Tom Braams en Marisca Milikowski (Tom Braams is onderwijspsycholoog. Milikowski is hiervoor besproken)

Ze zijn mede-auteurs van het boek ‘De gelukkige rekenklas’.

[De gelukkige rekenklas]

• Hoe kon het zo fout gaan dat de inspectie nu moet constateren dat een kwart van de scholen ‘rekenzwak’ is? Wij leggen een groot deel van het huidige falen bij het Freudenthal Instituut.
• Anno 2008 zijn alle Nederlandse rekenmethodes doordesemd met de onderwijsfilosofie van Freudenthal. Rekenen wordt op bijna alle Nederlandse basisscholen ‘realistisch’ onderwezen.
• Niet alle leerlingen zijn geschikt voor deze methode, sommigen raken in de war, hebben geen houvast meer. Daarom zitten veel docenten en remedial teachers met de handen in het haar, omdat scholen in Nederland momenteel geen rekenmethode kunnen kiezen die niet op de realistisch- constructivistische ideeen van Freudenthal is geschoeid.
• De vraag ‘Hoe wordt een kind een gelukkige rekenaar?’ van het Freudenthal Instituut beantwoorden wij met de constatering dat een leerling blij wordt wanneer hij het gevoel heeft dat hij de basisgereedschappen beheerst.
• Te veel kinderen ontwikkelen zich tot onzekere rekenaars omdat scholen helemaal over stapten naar het realistisch rekenen. Zelfs ouders kunnen niet meer de helpende hand toesteken.
• Zo ontstaat de rare situatie dat je je kind in een paar lessen kunt leren hoe een staartdeling werkt, dat je ziet dat hij of zij die manier al snel foutloos kan toepassen, maar dat de school die beproefde techniek verbiedt.
• Hoe je het ook wendt of keert, aan het einde van groep 5 is het niet kennen van de tafelproducten een handicap geworden.

 

Rob Milikowski (De rekencentrale)

[Terug naar de twaalfde eeuw]  [Discussie met Jo Nelissen (Freudenthal Instituut)]

Kolomsgewijs rekenen, gepropageerd door het Freudenthal Instituut, versus cijferen:

• De rekenboeken van tegenwoordig zijn voor velen onbegrijpelijk geworden. Ouders kunnen hun kinderen op de basisschool ook vaak niet meer helpen met het rekenen. Bovendien: ouders die volgens de traditionele methoden naar eigen tevredenheid hebben leren rekenen, kijken soms vreemd op als ze vernemen dat hun rekenvaardigheid gebaseerd is op trucjes die het ware rekenen aan het oog onttrekken.
• Bij het tellen, de eerste omgang van kinderen met getallen, wordt een getal opgebouwd van klein naar groot. Tellen is het begin van het rekenen: 1, 2, 3, … 7, 8, 9, 10, … Het onderliggende mechanisme van het rekenen in het plaatswaardestelsel is altijd van rechts naar links. Het terugtellen gaat eveneens van rechts naar links. Dat is de eerste vorm van rekenen waarmee kinderen in aanraking komen. Het klassieke optelalgoritme sluit bij de systematiek van het tellen aan en beweegt zich derhalve ook van rechts naar links. Hetzelfde geldt voor het aftrekken. Evenzo het vermenigvuldigen. Het is een voortbouwen in het formele systeem waar kinderen al kennis mee hebben gemaakt.
• Stel dat het grootste van de twee getallen die moeten worden opgeteld n cijfers heeft. Bij het klassieke algoritme zijn voor het uitrekenen van het antwoord maximaal 2n cijfers nodig. Daarbij moeten we bedenken dat het bij het klassieke algoritme nooit nodig is meer dan twee cijfers + de 1 ‘van één onthouden’ tegelijkertijd te onthouden, hoe groot de getallen waarmee gerekend wordt ook zijn.
• Het vermenigvuldigen van twee getallen van twee cijfers is op deze manier al lastiger dan in de traditionele methode, grotere vermenigvuldigingen zijn kolomsgewijs niet uitvoerbaar.
• Algemener gesteld, als kinderen niet cijferend leren vermenigvuldigen moet al het verdere rekenen grotendeels door optellen en aftrekken, herhaald optellen en herhaald aftrekken plaatsvinden, inclusief grotere vermenigvuldigingen. Dat geldt noodgedwongen dan ook voor het delen. Dit is conceptueel een stap terug naar een primitiever rekenniveau. Zonder fatsoenlijk te kunnen aftrekken en vermenigvuldigen wordt ook het delen een heikele aangelegenheid.
• Dus als we terug willen gaan naar de tijd vóór de standaardalgoritmes belanden we allereerst in de twaalfde eeuw. Dit markeert het begin van de verkorte cijferalgoritmes in Europa.
• Het bijzondere van het in India ontstane plaatswaardestelsel is dat er zo efficiënt mee gerekend kan worden. Daar dankt het ook zijn succes aan.
• Hebben de Speciaal Rekenaars van het Freudenthal Instituut onderzocht of hun aanpak wel werkt? Het enige wat wij vonden op de website van de werkgroep was een Evaluatieverslag. Daarin wordt vermeld dat Jo Nelissen en Erika de Goeij de klas in waren gegaan. Op verzoek ontvingen we het verslag daarvan. “Kolomsgewijs rekenen tot 100”. Het onderzoek bestond eruit dat Erika de Goeij enkele dagen op een enkele sbo-school kolomsgewijs aan de slag was gegaan: met negen kinderen aan het kolomsgewijs optellen en met vijf leerlingen aan het kolomsgewijs aftrekken. Op grond van dat bezoek werd geconcludeerd: “dat de kinderen in heel korte tijd – 20 tot 30 minuten – kolomsgewijs kunnen leren optellen”. Onbegrijpelijk dat zo een onderzoek als serieuze basis wordt aangevoerd voor het ingrijpende besluit dat kolomsgewijs optellen en aftrekken een aanvaardbaar eindniveau vormen voor het hele sbo.
• Ik kan echt al die waarschuwingen voor de gevaren van de standaardalgoritmes niet begrijpen. Het doet me een beetje denken aan het verzet dat er in de Middeleeuwen bestond tegen het plaatswaardestelsel. En dan met name tegen het cijfer 0 dat daarmee ten tonele verscheen. Het valt ook niet te ontkennen, de introductie van de 0 was een geweldige truc: een nieuw getal voor iets dat er niet is. Maar toch nuttig.
• De leerkrachten hebben van alle kanten gehoord dat het ware rekenen van links naar rechts plaatsvindt. Dat sluit aan bij de kinderziel. Onder elkaar rekenen is het manipuleren van cijfers, het zijn trucjes. Het is gedachteloos rekenen volgens een recept, het is mechanistisch, het is koopmansrekenen.
• Het kolomsgewijs rekenen wordt aangeprezen met argumenten die niet stroken met het feitelijk functioneren van het plaatswaardesysteem. Het wordt vooral met modieuze redeneringen aantrekkelijk gemaakt. Het is de obsessie van een tijdvak dat de klassieke rekenregels op de schop zouden moeten, met als resultaat dat Daan en Sanne niet kunnen rekenen, zoals Jan van de Craats op de 25ste Panamaconferentie in januari 2007 uiteenzette. Met ongeloof luisterden de aanwezigen naar zijn betoog. Maar het is echt waar, de klassieke rekenalgoritmes voldoen nog prima en er is nog niets beters bedacht.

 

Raf Feys, Pieter van Biervliet (Feys is pedagoog, Coördinator Hoger Instituut voor Opvoedkunde en Ex-afdelingshoofd Pabo-Torhout. van Biervliet is lerarenopleider)

Feys voert samen met van Biervliet al tientallen jaren actie tegen radicale vernieuwingen in het reken/wiskunde-onderwijs in Vlaanderen, deels met succes. Hun motto: Vernieuwing in continuïteit. Feys en van Biervliet zijn (mede)auteur van een aantal boeken over reken/wiskunde-didactiek.

“Ik ben blij dat Vlaanderen nog niet ten prooi is gevallen aan de Nederlandse wiskunde-ellende, ongetwijfeld mede dankzij uw inspanningen!”    Prof. Jan van de Craats

[Kritiek van Raf Feys op realistische en constructivistische aanpak van het Freudenthal Instituut]   [Mad Math en Math War]

• Het FI maakte vanaf 1980 een karikatuur van het rekenonderwijs anno 1970 en bestempelde het ten onrechte als louter mechanistisch. Het is nochtans bekend dat de meeste mensen vroeger vlot konden rekenen. Ook in de klassieke rekendidactiek was er aandacht voor inzicht. Het inzicht in bewerkingen e.d. is al bij al niet zo moeilijk als de Freudenthalers het voorstellen en vergt veel minder tijd dan het vlot leren berekenen.
• In het verleden deden de FI-kopstukken jammer genoeg hun best om onze kritiek te verzwijgen en/of af te wijzen. In 1993 publiceerden we een kritische bijdrage in hun tijdschrift Panama-Post onder de titel ‘Laat het rekenen tot honderd niet in het honderd lopen’. We kregen veel sympathiserende reacties, maar FI-directeur Treffers bestempelde ons meteen als een ‘traditionele realist’ die niet bereid was de constructivistische FI-wending te onderschrijven. Nooit werd nog in een bijdrage verwezen naar onze kritieken en vakdidactische publicaties of naar de goede prestaties van Vlaamse leerlingen op TIMSS of PISA.
• In hun reactie op de kritiek minimaliseren en karikaturiseren de Freudenthalers meestal de kritiek op het te lage niveau en op het aandeel van het FI in de malaise. Het zou om vals alarm gaan vanwege enkele snoodaards die het rekenen willen herleiden tot mechanistisch cijferen.
• Als je ‘realistisch rekenproduct’ na 37 jaar nog niet aanslaat, dan moet je als expertisecentrum – met 70 medewerkers – hieruit de nodige conclusies trekken. Gravemeijer pleit echter voor een sprong vooruit, een totale constructivistische breuk met het klassieke wiskundeonderwijs.
• De Freudenthalers veronderstellen ten onrechte dat geautomatiseerde en gememoriseerde kennis vlug wegdeemstert en dat dit bij inzicht niet het geval is.
• Destijds werd in Willem Bartjens de goede score van de Vlaamse leerlingen op het TIMSS-onderzoek weggemoffeld, door te schrijven dat de vijfde plaats (en de beste van Europa) bekleed werd door Wallonië, waar in de TIMSS-tabel duidelijk Belgium Flemish stond. Toen we vroegen om dit in een volgend nummer recht te zetten kregen we als antwoord dat inderdaad Belgium Flemish ten onrechte vertaald werd als Wallonië, maar dat een rechtzetting in Willem Bartjens niet nodig was. De Nederlanders mochten niet weten dat Vlaamse leerlingen goed scoorden en zelfs beter dan hun Nederlandse buren.
• De Freudenthalers overbeklemtonen het flexibel hoofdrekenen en flexibel cijferen volgens eigenwijze en/of context- of opgave-gebonden berekeningswijzen. Ze noemen dit ten onrechte ‘handig’ en beschouwen de andere aanpakken ten onrechte als onhandig en mechanistisch. Ze verzwijgen verder dat zulk flexibel rekenen op de rug zit van het gestandaardiseerd rekenen. Enkel wie vlot -40 kan berekenen, beseft eventueel dat hij -39 ook vlot kan berekenen via eerst -40 en vervolgens + 1.
• De Freudenthalers houden verder te weinig rekening met de wetmatigheden van het cognitief functioneren. Klassieke leerprincipes als progressief compliceren, inoefenen en vastzetten van de kennis worden zomaar opzijgeschoven. Kennis en vaardigheden worden te weinig stapsgewijs opgebouwd en te weinig opgeslagen in het langetermijn-geheugen. De leerlingen hebben het dan ook moeilijk om zonder stevige verankerpunten nieuwe kennis en vaardigheden te verwerven en vraagstukken op te lossen.
• De totaal overbodige invoering van het kolomsgewijs rekenen brengt de leerlingen in de war zowel inzake het gewone hoofdrekenen als inzake het cijferen. Bij het kolomsgewijs aftrekken met tekorten b.v. wordt het voor de leerlingen een poespas.
• Het traditioneel cijferen wordt verwaarloosd en de Freudenthalers introduceren een totaal gekunsteld alternatief dat niets meer te maken heeft met wiskundig cijferen. Het cijferend delen verwordt tot een soort langdradig hoofdrekenen op basis van schattend aftrekken van happen. Dit is een aanpak met veel deelresultaten die langdradig is en die zich niet laat automatiseren zodat het cijferend delen nooit een vaardigheid kan worden.
• ‘Happend delen’ had o.i. niets meer met echt en handig cijferen te maken. Enkele jaren later stelde Treffers deze omslachtige en onwiskundige aanpak voor als hét model van de realistische aanpak. De basisprincipes luidden dan ‘zelf construeren van eigen (informele) berekeningswijzen vanuit een concrete (autobus)context’, het achteraf zelf en in de groep ‘reflecteren op de eigen constructies en op deze van de medeleerlingen’, het progressief verkorten (schematiseren) van de omslachtige berekening (grotere happen). De leerlingen moeten zelf een procedure ontdekken en geleidelijk aan de omslachtige berekening en aanschouwelijke voorstelling verkorten (‘schematiseren’).
• We begrepen echt niet hoe wiskundigen als Treffers de essentie van het handig cijferen – het positioneel splitsen van het deeltal – links liet liggen en tegelijk de indruk wekten dat die cijferende aanpak niet inzichtelijk aangebracht kon worden.
• Vlaamse leerkrachten die ooit in een methode met kolomsgewijs rekenen of met het FI-cijferen geconfronteerd werden, stelden al vlug vast dat dit niet goed werkte.
• Context-rekenen remt inzicht en transfer af.
• Men wekt de indruk dat men voortdurend vanuit contexten moet werken en dat de leerlingen zelf wiskundige noties, regels en/of berekeningswijzen moeten ontwikkelen op basis van reële problemen.
• Het werken met contexten en op aanschouwelijk niveau is complexer dan men veelal denkt.
• De moeilijkheid bij veel context-vraagstukken ligt vaak eerder bij het onvoldoende kennen van de context (b.v. ervaring van parkeren met een auto in opgave over hoeveel auto’s op parking van 70 bij 50 meter), bij het feit dat de tekst te lang en te moeilijk is en bij het feit dat er te veel berekeningen ineens bij betrokken zijn.
• Een recente studie komt tot de conclusie dat kinderen vaak beter concepten, regels en berekeningswijzen leren wanneer ze voldoende op abstract niveau werken, dan wanneer ze die concepten en regels moeten afleiden uit contexten, rekenverhalen of probleemsituaties (Science, The Advantage of Abstract Examples in Learning Math, J. A. Kaminski, V. M. Sloutsky en A. F. Heckler, Centre for Cognitive Science van Ohio State University). Leerlingen die via abstracte voorstellingen hadden geleerd, kwamen gemakkelijker tot toepassing in nieuwe situaties (transfer) dan leerlingen die via realistische contexten werkten. Als het abstracte idee zelf wordt onderwezen, beheersen de leerlingen die toepassing veel beter. Leerlingen die een wiskundig principe leren aan de hand van praktische voorbeelden, weten vaak niet hoe ze dat principe moeten toepassen op nieuwe situaties. Ook als ze verschillende voorbeelden hadden gekregen, zei hun dat niets over een nieuwe toepassing. De leerlingen die meer abstracte lessen hadden gekregen, wisten wèl raad met nieuwe toepassingen. Kennelijk leidt al die concrete informatie in het voorbeeld alleen maar de aandacht van de essentie af.
• Opvallend is ook dat binnen het ‘realistisch rekenonderwijs’ van het FI het leren oplossen van problemen centraal staat en dat de 12-jarigen precies voor vraagstukken vrij zwak scoren.
• Dat leerlingen met de FI-aanpak over weinig parate kennis beschikken, maar des te meer over inzicht en probleemoplossend vermogen, klinkt ongeloofwaardig. Uit de PPON-peilingsonderzoek blijkt dat ze ook veel last hebben met het oplossen van vraagstukken.
• In de constructivistische wiskunde blijft de leerkracht al te lang steken in de realiteit (voor-wiskunde, contexten) en alles moet uit de leerlingen komen. De typisch wiskundige vakkennis, het vlot en gestandaardiseerd rekenen, de abstrahering en veralgemening waren niet langer belangrijk, maar vooral het leren problemen oplossen en het construeren (uitvinden) van eigen begrippen en berekeningswijzen. Oerdegelijke leerprincipes waren ook plots ouderwets: gestructureerde en progressieve complicering, directe instructie, inoefenen, automatiseren en memoriseren.
• Bij de open, context- en probleemgestuurde leerprocessen à la FI worden de leerlingen met te veel nieuwe zaken tegelijk geconfronteerd en kunnen ze te weinig aansluiting vinden bij (deel)vaardigheden en basiskennis die al verworven moet zijn en opgeslagen in het lange-termijngeheugen.
• In een klas met 20 leerlingen is het inspelen op individuele denkwijzen en berekeningswijzen niet haalbaar.
• Naast de weg van kennen naar kunnen, is er ook de weg van kunnen naar kennen.
• In onze visie is het zo dat parate kennis en het vlot en gestandaardiseerd berekenen, het inzichtelijk werken en het leren oplossen van vraagstukken drie invalshoeken zijn die elkaar onderling ondersteunen en versterken. Het gaat om een drie-eenheid en om tweerichtingsverkeer, van kennen naar kunnen, maar evenzeer van kunnen naar kennen.

 

Hans van Luit (Hoogleraar Diagnostiek en Behandeling van kinderen met dyscalculie)

[Ook contextopgave kan niet zonder basale rekenkennis]

• Onder leiding van de Utrechtse wiskundige Hans Freudenthal werd het rekenonderwijs omgedoopt in rekenwiskundeonderwijs. Zo werden redactieopgaven al snel complexer en werden vanaf die tijd contextopgaven genoemd. De taal, en in het bijzonder de technische en begrijpende leesvaardigheid, speelde een steeds belangrijkere rol in het rekenkundig probleem oplossen. Wat de wiskundigen vergaten, is dat er wel basale rekenkennis nodig is voordat je dergelijke opgaven kunt oplossen.
• Een kleine minderheid in onderwijsland wees op de extra moeilijkheden die zwakke rekenaars bij deze benadering ondervonden.
• De overheid omarmde de vernieuwing evenwel ten volle en het latere Freudenthal instituut, dat het nieuwe rekenenwiskunde enthousiast uitventte, groeide en groeide. Er waren veel ‘believers’ die er voor zorgden dat niemand het nog over automatiseren, procedures en strategieën had. Het credo was ‘zelfontdekkend leren’ om real life situaties creatief te kunnen oplossen.
• Zonder enig empirisch bewijs of bronvermelding werd verondersteld dat alle kinderen, ook die in het speciaal onderwijs, van de nieuwe aanpak zouden profiteren.

 

Moby (pseudoniem) (Ex-onderwijzer)

• Ik heb jaren voor de klas gestaan en gewerkt met een RR-methode [Realistisch Rekenen-methode], dus heb ik meer recht van spreken dan mevrouw V.d. Heuvel-Panhuizen die erg gemakkelijk het etiket ‘didactisch onkundig’ plakt op de critici van het realistisch rekenen. Tevens heb ik percentielscore 99 gehaald met mijn klas (zonder enige uitsluiting van leerlingen) op het CITO onderdeel ‘Getallen, bewerkingen, breuken, procenten en verhoudingen’. Mevrouw schermt in haar essay met goede rekenresultaten. Wij gebruikten naast de RR methode oefenboekjes met kale oefenstof. Dit bleek nodig omdat de oefenstof van de methode onvoldoende was. Met verbijstering zag je hoe je moest opschakelen naar een nieuwe moeilijkheid waar de eerdere basisstof nog lang niet was ingeslepen. Zo stapelde je lacune op lacune, mankement op mankement. Later heeft de methode dit gebrek erkend; toen adverteerde men met ‘nu meer oefenstof’. Ander probleem: Het met elkaar zoeken naar oplossingen, creatief en het wiel zelf uitvindend, vereist een voortdurende interactie tussen leerlingen en leerkracht. Zo’n werkvorm is niet mogelijk als een leerkracht tijdens 1 rekenuur 4 of meer niveaus moet bedienen. Scholen hebben zelf diverse aanpassingen bedacht om alles werkbaar te houden en alleen daarom lukt het nog een beetje. Enig succes is zeker niet te danken aan de RR-methode.

 

Kees van Putten (Medewerker Faculteit der Sociale Wetenschappen, Instituut Psychologie, Sectie Methoden & Technieken aan de Universiteit Leiden)

[De onmiskenbare daling van het prestatiepeil bij de bewerkingen sinds 1987]

• Treffers’ bewering in zijn artikel ‘De kwaliteit van het reken-wiskundeonderwijs’ (2007) dat de periodieke rekenpeilingen voor de bewerkingen niet valide zijn en er dus geen sprake is van kwaliteitsachteruitgang in het rekenonderwijs, is onhoudbaar. Bovendien gaat Treffers’ betoog voorbij aan enkele relevante bevindingen. Zo bleken niet alleen sterke maar ook zwakke en gemiddelde leerlingen beter te staartdelen dan happend te rekenen. Ook voor elke afzonderlijke rekenstrategie bleken de prestaties op de deelsommen tussen 1997 en 2004 achteruit te zijn gegaan. Door deze omissies en door de standaarden voor rekenprestaties af te wijzen, draagt Treffers niet bij aan oplossingen voor de serieuze problemen in het Nederlandse rekenonderwijs. Deze problemen worden opnieuw duidelijk uit een nadere analyse van de bewerkingsopgaven voor vermenigvuldigen uit PPON. Alleen sterke rekenaars bleken in 2004 met alle strategieën succesvol op de opgave 99× 99, maar gemiddelde en zwakke rekenaars boekten alleen succes met de traditionele vermenigvuldiging.
• Ik heb speciaal ingezoomd op de opgave ‘99 × 99 = ?’ omdat deze zich zo goed leent voor de zogenaamde realistische aanpak. Ik heb een groot deel van testboekjes met deze opgave uit PPON 2004 op een avond zelf nagekeken en heb die nacht bijzonder slecht geslapen: zolang de leerlingen maar ‘volgens opa’ rekenden, ging het meestal goed, maar realistische aanpakken via bijvoorbeeld 100 × 99 of 100 × 100 leverden een slagveld aan foutieve uitwerkingen en antwoorden op. Het begon al met fouten in 100 × 99 of 100 × 100 (met fouten als 990 respectievelijk 1000 of 100 000), en vervolgens het probleem hoeveel daarvan af te trekken (compenseren) met fouten als 1 of 2, 100 of 200 eraf. Eigenlijk was alleen de traditionele aanpak hier succesvol en konden alleen de sterke rekenaars zich een realistische aanpak veroorloven; alle andere combinaties waren kansloos.
• Bij het slagveld aan problemen in de realistische aanpak van de opgave 99 × 99 rees bij mij de vraag waarom getalbegrip, inzicht en schattend rekenen à la FI hier zo weinig leerlingen op het juiste pad hielden. Waarom gaat 100 × 100 of 100 × 99 zo vaak fout? Hoezo getalbegrip? Waarom wordt zo vaak een onjuiste compensatie gebruikt? In het oppervlaktemodel van 100 × 100 tegels verwijder je eerst 100 en daarna 99 tegels, zodat je op 9801 uitkomt voor een oppervlakte van 99 × 99. Geen enkele leerling in het PPON-materiaal heb ik een dergelijke visualisatie zien gebruiken; hoezo inzichtelijk rekenen? Ik heb de indruk dat de Freudenthalers er geen benul van hebben hoe lastig zo’n ‘inzicht’ als onderwijsdoel eigenlijk is en voor hoe weinig leerlingen het tenslotte is weggelegd.
• Te veel kinderen zijn op het einde van het basisonderwijs niet in staat om heel gewone rekenopgaven goed te beantwoorden. Een voorbeeld: de gemiddelde leerling uit PPON 2004 beheerste de volgende opgave niet: Hoeveel kosten 25 atlassen van € 19,50 per stuk? Naar mijn mening bagatelliseert Treffers hier een serieus probleem, dat echter door velen als zodanig onderkend wordt.
• De vaak geuite verwachting dat het realistische happenschema juist voor zwakke rekenaars tot zoveel betere resultaten leidt dan de traditionele staartdeling, wordt op geen enkele wijze ondersteund door onze onderzoeksresultaten. Ook bij cijferend vermenigvuldigen zien we dat voor zwakke rekenaars de traditionele vermenigvuldiging tot betere resultaten leidde dan de realistische strategieën.
• Velen hebben zich de vraag gesteld of het didactische evenwicht tussen inzicht nastreven en vaardigheden laten verwerven niet te veel naar het eerste is verschoven, ten koste van het tweede.

 

Wim van der Linden, Michel Zwarts (van der Linden is hoogleraar in de faculteit gedragswetenschappen, Universiteit Twente. Zwarts is medewerker bij de Inspectie, en eerder als Cito-medewerker betrokken bij de PPON)

• Wat ons betreft zijn we aan het einde gekomen van onze discussie met Adri Treffers (Freudenthal Instituut). Het is moeilijk discussiëren met een opponent die slechts oog heeft voor het didactische aspect van het rekenonderwijs, die zijn theorieën baseert op informele analyses van losse opgaven, zich voor evidentie beroept op meningen van gelijkgezinden en weinig interesse toont voor de statistische methodologie van peilingsonderzoek. Bovendien reageert hij in zijn tweede notitie nergens op de eerder door ons aangevoerde argumenten, zodat een echte discussie niet ontstaat. Opnieuw lijkt het er verdraaid veel op alsof hij in het wildeweg schiet in de veronderstelling dat rook de beste manier is om vuur te suggereren. Dat hij zijn eigen voeten raakt en vervolgens in zijn betoog over de betekenis van het realistisch rekenonderwijs eigenlijk geen been meer heeft om op te staan, komt niet voor onze rekening.

 

Prof. Willem R. van Zwet (Hoogleraar wiskunde)

• In de discussie probeert Treffers het echte rekenen in diskrediet te brengen door het als cijferen aan te duiden en naar het beroepsonderwijs te verwijzen. Argumenten heeft hij eigenlijk niet.
• Ook beweert Treffers dat er geen draagvlak is voor de mening van Van de Craats dat het rekenonderwijs mede dankzij het Freudenthal Instituut totaal in de soep is gelopen. Ik kan hem meedelen dat ik geen enkele serieuze wiskundige ken die daar anders over denkt dan Van de Craats.

 

Prof. dr. Henk Tijms (Hoogleraar wiskunde/econometrie)

• De directeur van het Freudenthal Instituut, Jan de Lange, wijst er in het artikel “Ook beta’s rekenen matig”  op dat de universiteiten nu klagen over het gebrek aan rekenvaardigheden bij de binnenkomende studenten, maar erbij zaten toen de wiskundeprofielen voor het voortgezet onderwijs gewijzigd werden. Het feit dat universitaire vertegenwoordigers het allemaal wel goed vonden of te ver af stonden van de werkvloer om te begrijpen waar het werkelijk om ging, is nog geen rechtvaardiging voor het Freudenthal Instituut en aanverwante instituten als het APS om hun geloofsartikel van de zogenoemde realistische wiskunde zo ver door te drijven.
• In plaats van de bakens te verzetten en te erkennen dat er meer aandacht moet komen voor rekenen en algebra zonder poespas, weet men het ministerie geld te onfutselen voor een project waarin de tekortkomingen van het talige wiskunde onderwijs worden bestreden door software die een en ander met “plaatjes” duidelijk maakt. Het moet niet gekker worden. De enige juiste oplossing is dat de jeugdopleiding over de gehele breedte wordt verbeterd door, met name in de onderbouw voortgezet onderwijs, de rol van het talige reken-en wiskunde onderwijs drastisch terug te dringen ten gunste van rekenen en algebra (maar wel zonder grafische rekenmachine) met oefening en nog eens oefening.

 

Rainer Kaenders, Klaas Landsman  (Kaenders is Vakdidacticus wiskunde in Nijmegen. Landsman is hoogleraar natuurkunde)

• Het hele probleem met het realistische wiskundeonderwijs zoals het FI dat maakt, is hun idee dat de abstractie wel vanzelf komt als je maar genoeg contexten aanbiedt. Almaar aansluiten bij de gedachtenwereld van de leerlingen. B-leerlingen vragen dan na een tijdje: ‘Waarom zeggen ze niet gewoon wat ze bedoelen?’ Dit zie je ook terug in de lespakketjes van het FI: daarin wordt eindeloos verkend, maar het gewenste einddoel blijft achter de horizon.
• De zogenaamde ‘didactische modellen’ maken het nog erger. Een ‘verhoudingstabel’ geeft de leerling in het begin steun, maar blokkeert uiteindelijk de wiskundige ontwikkeling omdat de vervolgstap van verhoudingstabel naar algebraïsch rekenen niet gemaakt wordt. Door de realistische didactiek blijft de ontwikkeling van de leerling in een initieel stadium steken.

 

Sieb Kemme (Wiskundedidacticus. Schrijver van wiskunde-studieboeken voor het HBO)

[Algebra moet!]

Boekbespreking ‘Wat a is, dat kun je niet weten. Een pleidooi voor betekenisvolle algebra op school.‘ onder redactie van Paul Drijvers:

• In het voorwoord schrijven de auteurs: ‘Met dit boek wil het Freudenthal Instituut een positie in deze discussie [over de schoolalgebra] innemen. De realistische benadering van algebraonderwijs is het uitgangspunt voor een pleidooi voor betekenisvolle algebra op school.’ Wat bedoelen de auteurs eigenlijk met ‘betekenisvolle algebra’?
• Aan het eind van het eerste hoofdstuk geven de auteurs een visie op het leren van algebra. Gesnapt? Nee, bepaald niet. Algebra is dus betekenisvol voor leerlingen als ze dat als betekenisvol ervaren. Zo, daar heb je geen woord Engels voor nodig.
• Die meetkundige betekenis van   (a + b)² = a² + 2ab + b²    speelt dus een inzichtelijke rol bij de leerfase van die afleiding. In de verwerkingsfase, bij het inoefenen en toepassen, zal de afleiding het niveau van een bijna gedachteloos automatisme moeten zien te bereiken. De vraag blijft hoe je dat betekenisvol kunt oefenen.
• Veel van de successen uit de wiskunde en de natuurwetenschappen hebben we te danken aan het feit dat een lumineuze gedachte kon worden weergegeven, en daarmee hanteerbaar worden gemaakt, door middel van passende formules. Algebra is het skelet van de wiskunde. Zonder handigheid in algebraïsche vaardigheden zakt de boel in elkaar. Dat geldt voor de wiskunde als wetenschap, maar ook voor de schoolwiskunde op HAVO en VWO.
• De voldoening die je kunt beleven aan het vinden van een oplossing na een stevige stoeipartij met formules, mogen we onze HAVO- en VWO-leerlingen niet onthouden. Algebra moet, maar dan goed!

 

Rainer Kaenders (Vakdidacticus wiskunde en hoofd onderwijs op het Instituut voor Leraar en School aan de Radboud Universiteit Nijmegen)

[Wat Algebra is, dat kun je niet weten]

Boekbespreking ‘Wat a is, dat kun je niet weten’ onder red. van Paul Drijvers:

• In het nawoord voorspelt Drijvers dat de algebra in de toekomst zal zijn ‘ingeblikt’ in apparaten, machines en software.
• Drijvers probeert de mythe in stand te houden dat het mogelijk zou zijn over een serieuze vorm van symbol sense te beschikken zonder elementaire algebraïsche vaardigheden te beheersen (zoals het oplossen van kwadratische vergelijkingen). Het geschetste toekomstbeeld laat weinig ruimte voor de wiskunde.
• Na een aansprekende meetkundige constructie van het folium van Descartes geschetst te hebben, die ook nog mooi met Cabri kan worden gevisualiseerd, constateert Drijvers: “Op een geschikte website is wel een parametervoorstelling van de kromme te vinden, die de leerling in een computerpakket in de door Cabri gevonden vergelijking kan substitueren. Het pakket antwoordt met true.” Dat de leerling hierbij zo goed als geen wiskunde leert, had er wel nadrukkelijker bij gezegd kunnen worden.
• Drijvers: “Misschien werkt de interface anno 2020 met plaatjes en een uitrolbaar touchscreen veel makkelijker dan de huidige generaties van mobiele telefoon, digitale camera, gameboy, tv en PC. Je kunt allerlei vragen inspreken over je figuur, je model, zonder dat jij zelf de ‘ouderwetse’ algebra hoeft te kennen.” In de aanbevelingen volgen dan weer beschouwingen over ‘vaardigheden met pen en papier’ en ‘handmatige vaardigheden’ in plaats van op een wiskundige manier te beschrijven welk conceptueel begrip een leerling van een stuk wiskunde zal en kan verwerven.

[Verum, Pulchrum, Bonum]

• Zodra didactische problemen worden opgelost door ze eenvoudig weg te laten en simpelweg te ontkennen, kun je spreken van antididactische omissie. In bijna alle tegenwoordig gebruikte schoolboeken gebeurt dat met centrale wiskundige concepten.
• De staartdeling is essentieel voor een goed getalbegrip (voorstellingen van een getal als decimaal getal en als breuk, irrationale getallen als getallen met een niet-periodieke decimale voorstelling). En ook maak je kennis met het ladenprincipe en is het bruikbaar voor toepassing op veeltermen, bepalen van asymptoten enzovoorts. Bij consequente antididactische omissie daarentegen is de staartdeling inderdaad overbodig.
• Het getalbegrip is gereduceerd tot dat wat je op je rekenmachine ziet: kommagetallen — volgens Tony Gardiner een manier om alle getallen even saai te maken.
• Het rekenen met breuken en wortels behoort tot één van de grootste problemen in de hogere klassen. Zonder enig getalbegrip is ook geen serieuze analyse mogelijk. Dus berust ook het hele curriculum in de analyse inmiddels op het handig rekenen met een rekenmachine en wordt uitbesteed aan apparatuur.

_______________________________________________________________

Zie ook *Kritiek op de vernieuwingen (1)*   en *Kritiek op de vernieuwingen  (2)*