Uitspraken over rekenen. Kritiek

*Uitspraken-blogs* 

_____________________________________________________________

Kritiek op de vernieuwingen (2)

________________________________________________

Klachten van ouders/onderwijzers over het rekenonderwijs zijn te vinden in  *Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. Zwartboek rekenonderwijs*  samengesteld door Prof. Jan van de Craats.

Kritiek van Prof. Joost Hulshof op de TAL-boekjes (reken-didactiek voor de PABO), die ervoor gezorgd hebben dat na 2001 in de rekenboekjes op de basisscholen het traditionele cijferen nauwelijks meer behandeld werd, is te vinden in *De TAL-boekjes tegen het licht gehouden*

Prof. Jan van de Craats (Hoogleraar wiskunde. In 2006 kreeg hij de NWO Oevreprijs voor zijn bijdrage aan de popularisering van de wiskunde. Medeoprichter ‘Stichting Goed Rekenonderwijs’)

[Mythen in de rekendidactiek]

• Rekenen leer je op de basisschool. En daar gaat het mis. Met dank aan de propagandisten van het realistisch rekenen, die het nu sinds een jaar of twintig voor het zeggen hebben in het Nederlandse onderwijs.
• De leerlingen krijgen omslachtige rekenmethoden (berekeningswijzen) voorgezet; de presentatie is chaotisch; er is veel te weinig aandacht voor systematisch oefenen.
• De kinderen worden in verwarring gebracht doordat er bij elk type rekenbewerking allerlei berekeningswijzen door en naast elkaar worden gepresenteerd. Soms zijn dat alleen maar foefjes waarmee je af en toe bepaalde berekeningen kunt verkorten, maar die geen algemene geldigheid hebben. Ze worden in het moderne jargon ‘handig rekenen’ genoemd. Voorbeeld: 24 × 125 reken je uit door 12 × 250 te nemen of 6 × 500, en dat kun je uit je hoofd. Leuk en slim, maar bij 26 × 127 of 29 × 123 werkt het niet meer.
• Kolomsgewijs rekenen is een didactische blunder.
• Dat de onhandigheden van ‘kolomsgewijs rekenen’ in de rekenboekjes niet eens zo evident worden, komt doordat het daar alleen maar uitgelegd wordt voor getallen van twee of hoogstens drie cijfers. Zulke methodes worden omslachtig bij grotere getallen.
• De hapmethode nodigt uit tot onhandig en omslachtig rekenen, juist omdat het geen systematische methode is. Natuurlijk leidt dat dan ook ook tot meer fouten.
• De staartdeling is een overzichtelijke, efficiënte rekenmethode die haar waarde in vele generaties rekenonderwijs bewezen heeft. Er is niets raadselachtigs of onnatuurlijks aan. Maar ook hier geldt weer: je leert en begrijpt het recept pas volledig nadat je er veel mee hebt geoefend. Leerlingen zijn gebaat bij een voorzichtige, didactisch verantwoorde, stapsgewijze opbouw. Niet bij een alternatieve methode waarbij ze aangemoedigd worden maar wat aan te rommelen (‘Maak je eigen voorkeur bij het noteren van de happen.’).
• Het mooie van standaardrecepten is dat ze altijd werken.
• Delen door een breuk leren kinderen helemaal niet meer, alleen maar omdat er geen ‘verhaaltje’ met taarten of bakjes vla te verzinnen valt bij drievierde gedeeld door zevennegende. Maar als je leert dat delen door een breuk gelijk is aan vermenigvuldigen met het omgekeerde, kom je er altijd uit.
• Er lopen genoeg studenten rond die denken dat 0,40 tien keer zo veel is als 0,4. De reden is dat ze het rekenen vanaf de basisschool niet goed aangeboden  hebben gekregen. Het fundament is absoluut niet goed geweest.
• Kinderen krijgen op de basisschool flauwe opgaven voorgeschoteld, met onnodig veel tekst, terwijl een meerderheid niet uit het blote hoofd weet hoeveel 8 keer 7 is.
• Door al die context zit de leerling niet zozeer te rekenen alswel te lezen, en lijkt een rekentoets vooral een intelligentietest. En door al die oplossingsstrategieën ‘ziet de leerling door de bomen het bos niet meer’.
• Wiskunde wordt te veel verpakt in verhaaltjes, om ze een context te geven, om begrip te bevorderen. Dat is de afgelopen jaren volkomen doorgeschoten. Het is een mythe dat het in de wiskunde om begrip gaat en dat je dat niet kweekt door rijtjes sommen te maken.
• Mythe 1: ‘eerst begrijpen, dan pas oefenen’.  Het klinkt heel aannemelijk maar het is kletskoek. Het is eerder het omgekeerde: juist tijdens het oefenen ontstaat geleidelijk steeds meer begrip. Zeker wanneer het oefenen systematisch opgezet is en wordt ingebed in verdiepingsronden.
• Als docent moet je niet verbaasd zijn als er tijdens de oefeningen telkens andere leerlingen steeds weer dezelfde vraag stellen, vaak over iets dat je nog geen twee minuten eerder aan de hele klas hebt uitgelegd. Maar toen ging het blijkbaar over de hoofden heen; pas doordat leerlingen zelf sommen hebben geprobeerd, valt het kwartje. Elke goede docent kent zulke ervaringen.
• Mythe 2: leerlingen vinden rijtjes sommen en oefenen vreselijk. De werkelijkheid is echter dat leerlingen graag rijtjes sommen maken, mits die goed en systematisch zijn opgebouwd zodat ze het idee krijgen dat ze echt iets leren.
• Het vreselijke woord ‘gecijferdheid’ wordt alleen maar door rekendidactici gebruikt.
• Bij het werken met voorbeelden ga je ervan uit dat de leerling zelf de theorie ontdekt. Maar dat werkt niet; dat is maar enkelen gegeven.
• Alleen wie zelf kan rekenen, kan goed met rekenmachines omgaan.
• Hoe komt het toch dat je in het dagelijks leven (winkelen in de supermarkt, pretpark bezoeken, eten koken, krantenlezen, feestje organiseren,..) NOOIT iemand een rekenmachine ziet gebruiken? Zogenaamde ‘realistische’ toetsopgaven gaan haast nooit over situaties in het dagelijks leven waarin je een rekenmachine zou gebruiken. Sterker nog: bij veel van die opgaven vraag je je af: Waarom zou iemand dat willen weten?  Door zulke vragen krijg je een onrealistisch beeld van wat rekenvaardigheid is, en waar het goed voor is. Zou rekenvaardigheid soms alleen maar noodzakelijk zijn voor studie en beroep, en niet in het dagelijks leven? Niet voor niets komen alle klachten over een gebrek aan rekenvaardigheid uit het voorgezet onderwijs, het hoger onderwijs en de beroepspraktijk.
• Er is één groot misverstand in de wiskundedidactiek: dat leerlingen het niet leuk zouden vinden om gewone opgaven, zonder al die verhaaltjes, te maken.
• Bij TIMSS is ook de positieve houding onderzocht van de deelnemers tegenover rekenen en wiskunde. In de tabel van zesendertig landen staat de Nederlandse deelnemersploeg op de vierendertigste plaats. De Nederlandse deelnemers hebben dus heel weinig waardering voor rekenen en wiskunde. Realistisch rekenen heeft de pretentie rekenen leuk te maken voor kinderen. Blijkens TIMSS is bij de Nederlandse deelnemers juist het tegendeel het geval.
• Welke rampen het realistische rekenen heeft aangericht, blijkt uit de PPON. Je schrikt je een ongeluk als je ziet wat 12-jarige kinderen niet kunnen.
• Als Singapore, Taiwan en Japan verreweg de beste resultaten halen dan valt er blijkbaar iets te leren van hun rekenonderwijs. En, daarover is geen twijfel, dat is niet realistisch maar traditioneel.
• Dat het kwadraat van wortel 5 gelijk is aan 5, bleek voor menig eerstejaarsstudent met wiskunde B in zijn of haar pakket een verrassende ontdekking te zijn. Nooit geweten! Voor hen was wortel 5 synoniem voor ‘5 intoetsen, de worteltoets indrukken en aflezen wat er op het scherm verschijnt.’ Ook de wereld van breuken, haakjes en merkwaardige producten bleek grotendeels terra incognita te zijn.
• Kun je ingenieur worden als je niet op routineniveau kunt werken met goniometrische formules, met exponentiële functies en met logaritmen? De vraag stellen is haar beantwoorden.
• Bij studies als civiele techniek, biologie, geneeskunde, economie, bedrijfskunde is het ontbreken van wiskundige vaardigheden vaak een serieus struikelblok dat niet zelden leidt tot een negatief studieadvies.
• Er is geen behoefte aan vernieuwend wiskundeonderwijs, maar aan verbeterd wiskundeonderwijs!

Henk Pfaltzgraff (Docent wiskunde. Na zijn pensi­oen actief als wiskun­dedo­cent voor volwas­senen en onder­steuner van rekenon­derwijs voor kinde­ren. Hij was betrok­ken bij de ontwik­keling van de wiskun­de B-examens. Schrijver van talrijke leerboekjes. Medeoprichter ‘Stichting Goed Rekenonderwijs’)

[Henk Pfaltzgraff]  [Minder Volume en Meer Inhoud]

• Niet alleen die juf maar ook de kinderen verliezen hun plezier en ambitie en beginnen gaandeweg het schattend, happend, babbelend, gekunsteld, geïllustreerd en onzeker makend rekenen in de klas te haten. Mijn kleindochter is de laatste maanden haar plezier in sommetjes van opa helemaal kwijt geraakt. Af en toe moet ik haar helpen met een ook voor mij onduidelijke tekst uit het werkschrift van RekenRijk. En de tafels van vermenigvuldiging zitten er nog steeds niet in, terwijl dat kind een geheugen heeft waar ik zelf niet aan kan tippen.
• Het onvermogen tot automatiseren heeft in het internet tijdperk groteske vormen aangenomen, een soort atrofie van het hersenweefsel. Ter illustratie een paar recente, waarheidsgetrouwe voorbeelden uit mijn wiskundelessen:
  •  2x3x4 leidde tot grote consternatie in een klas 5-havo wiskunde A, waar pas na lang doorvragen iemand met het goede antwoord kwam.
  • 1+2×3 ging niet alleen fout in groep 7 (waar mijn kleinkind in zit en ook de juf het goede antwoord niet wist), maar leidde ook in mijn examenklas (vwo wiskunde B) tot meningsverschillen; dat kwam mede doordat het rekenmachientje op de (smart)phones de verkeerde uitkomst geeft. Probeer maar eens…
• Modderen we nu niet al twintig jaar aan met inzichtelijk en zelfontdekkend rekenen? Met kolomsgewijs vermenigvuldigen met happend delen, met aftrekken met tekorten en werken met ‘mooie’ getallen? Met handig rekenen, waardoor de uitkomst van 25 x 16 wel aangeleerd wordt maar die van 26 x 17 niet? Met een tekort aan oefening? Worden we al niet veel te lang gehinderd door een opgelegde, totale afkeer van regels (voorrangsregels, breukbewerkingen) waardoor de uitkomst van 1/2 x 1/3 wel maar die van 3/7 x 4/5 niet wordt aangeleerd?
• Een schrijnende, maar onontkoombare conclusie dringt zich op: algebra is niet over te dragen aan ongecijferden. Eerst moet het rekenen bijgespijkerd worden. Die ervaring heb ik opgedaan op de VAVO.
• Het onderwijzen van algebra is een enorm probleem geworden sinds het didactische nonconformisme (de angst voor regeltjes) van het realistisch rekenen op de basisscholen ertoe geleid heeft dat middelbare scholieren niet meer geleerd hebben systematisch te cijferen.
• Het niveau van de algebra haalt met moeite dat van de derde klas HBS van vroeger.
• Namens alle ongelovigen (leraren en leerlingen) moet ik toch eerst wat didactisch incorrecte opmerkingen kwijt. Er is namelijk veel verloren gegaan sinds 1990. Het rendement van ons reken- en wiskundeonderwijs is teruggelopen. Er gaat niets boven een duidelijke, centrale uitleg door iemand die ver boven de stof staat. Duidelijkheid en systematische opbouw is de kracht van alle wiskunde. Voor het bord maar ook in het boek. Gevolgd door een gerichte training, met pen en papier in een schoolschrift. E-learning (al of niet online) verveelt gauw. Een systematische oplossingsmethode, aangereikt door de leraar (of het boek) heeft de voorkeur boven zelfontdekkend aanmodderen. Opdrachten met veel taal worden door de leerlingen verafschuwd. De meeste leerlingen (zwak of sterk) werken liever met abstracties dan met concrete situaties. Leerlingen lossen veel liever (en veel sneller) vergelijkingen systematisch op dan via het infantiele inklemmen. De rekenmachine hoort niet thuis in het curriculum.
• Zelfontdekkend en probleemgestuurd leren, het zijn mooie woorden, maar ze kosten bergen tijd en leveren niets op. Goede uitleg is de enige didactiek die we nodig hebben.
• Het “constructivisme” is een religie, pseudo-wetenschap, bedacht door volwassenen die weinig begrijpen van de kinderziel.
• Bij de constructivisten constateer ik een tekort aan zelfreflectie. Kritiek wordt vaak als een persoonlijke aanval beschouwd.
• Inzichtelijk rekenen is voor mij een even dwaas begrip als inzichtelijk zwemmen of inzichtelijk toeteren.
• De didactische (beter: pedagogische) misvatting dat inzicht vooraf dient te gaan aan het oefenen en dat (cito) toetsen vooral intelligentie moeten meten hebben het wiskunde-onderwijs grote schade berokkend.
• De mediatheek, internet, excel, compex examens: allemaal prima voor een school maar niet voor een wiskundeleerplan dat gebaseerd is op efficiëntie en abstractie.
• Het werken met projecten en modules werkt versnippering en dus tijdverlies in de hand.
• Leerlin­gen zijn geher­sen­spoeld met al die zoge­naamd leuke context­somme­tjes in realis­tische situa­ties. Wil je “bewij­zen” dat 1 : 1/2 = 2? Of dat (√2)^2 = 2? Dan pak je toch gewoon je grafi­sche rekenma­chine? De grafi­sche rekenma­chine heeft volle­dig de rol van het ver­stand overge­nomen. Met je smart­phone of de rekenma­chine van Windows kun je daarbij overi­gens nog lelijk terecht­komen. Want probeer daarmee nu maar eens 1 + 2 × 3 uit te rekenen.
• Ik huiver bij de beruchte definitie van gecijferdheid van Groenestijn, die ik weer eens tegenkwam op pagina 81: “Kennis en vaardigheden die nodig zijn om adequaat te kunnen handelen in persoonlijke, maatschappelijke en aan werk gerelateerde reken-wiskundige situaties, in combinatie met het vermogen om die kennis en vaardigheden flexibel te kunnen aanpassen aan nieuwe eisen in een continu veranderende maatschappij die gedomineerd wordt door kwantitatieve informatie en technologie.” Hoe ver is deze monomane grootspraak de werkvloer ontstegen? Wat zonde van ons belastinggeld dat er zwaar gesubsidieerde instituten bestaan die zulke niet operationaliseerbare teksten uitkramen.
• Anne van Streun beschreef het lesgeven van ons soort leraren minachtend als ‘het VNO model’ (Voordoen, Nadoen, Oefenen), vergat overigens de letter U van uitleggen. De examenvragen wiskunde B vwo zijn inmiddels niet minder talig geworden. De grote contextopgaven hebben nog steeds de krampachtige gekunsteldheid van vroeger.
• Te pas en te onpas wordt het gecompliceerde begrip inzicht gehanteerd in verband met examens en toetsen. Examens moeten echter kennis en vaardigheden toetsen en geen verkapte IQ-test zijn.

_____________________________________________________________

Basisonderwijs

Prof. Paul Kirschner (Hoogleraar onderwijspsychologie)

[Rekenen leer je door te rekenen]  [Houston, wij hebben een probleem]

• De leraren in het basisonderwijs ontbreekt het aan inzicht om een methode als realistisch rekenen goed te kunnen onderwijzen.
• Het zelfstandig naar oplossingen zoeken is geen goede manier om kinderen iets te leren. Er is geen enkel wetenschappelijk bewijs voor de stelling dat je problemen leert oplossen door vaak problemen op te lossen. Problemen kun je namelijk pas oplossen als je de regels beheerst: die van het rekenen. En daarna moet je veel oefenen. Wat kinderen nodig hebben is duidelijke instructie in het rekenen.
• Ik durf bijna te zeggen dat het onomstotelijk bewezen is dat leerlingen die proberen te leren problemen op te lossen door problemen op te lossen slechter presteren en minder leren dan leerlingen die leren door uitgewerkte voorbeelden te bestuderen.
• Een uitgewerkt voorbeeld is een stapsgewijze demonstratie van hoe je een taak uitvoert of een probleem oplost. Met andere woorden, de volledige oplosprocedure wordt gedemonstreerd/gemodelleerd. Het doel is om de principes onder het oplossen van een probleem of uitvoeren van een taak bloot te leggen voor de leerling en deze te illustreren. Uitgewerkte voorbeelden richten de aandacht op de structurele aspecten van problemen/taken en hun oplossingen en helpen leerlingen zo te begrijpen wat ze aan het doen zijn en waarom.

Rudolf Timmermans (Pedagoog, onderzoeker aan de Universiteit Nijmegen)

• Kinderen die moeite hebben met rekenen, hebben meer baat bij traditioneel rekenen. Bij traditioneel rekenen leren ze sommen volgens een vooraf geleerde strategie op te lossen. Een aanpak waarbij één oplossingswijze wordt aangeleerd en intensief getraind, bleek een positiever effect te hebben op die kinderen.

Inge Braam (Leerkracht basisonderwijs. Pabodocente. Columniste ‘Lachesis’ in Het Onderwijsblad van de onderwijsbond AOb)

• Directe instructie is een zegen. Alleen leerkrachten die les geven aan getalenteerde leerlingen en ideologen die om geloofsredenen liever niet zien wat pal voor hun neus ligt gaan uit van het (veelal niet bestaande) vermogen van kinderen om alles tegelijk en het liefst door elkaar heen uitgelegd en verwerkt te krijgen.
• Het gevaar van directe instructie …teaching to the test. Maar dat nadeel valt in het niet bij de voordelen die het oplevert: gestructureerd rekenonderwijs, zicht op uitval, oefenen, oefenen, oefenen. En wat mooier is: succeservaringen. Mijn leerlingen vinden rekenen leuk sinds de directe instructie opnieuw zijn intrede deed.
• Veel sommen hebben meer met begrijpend lezen te maken dan met rekenen en delen is in een realistisch rekenmethode je reinste siphysus arbeid. Veel van mijn leerlingen kunnen die grote stappen maar niet onder de knie krijgen. Dus houden ze het veilig en trekken er steeds tien keer eraf, en dan nog eens tien keer, en dan nog eens…op deze wijze kan de staart onder aan de deelsom al snel een halve meter lang worden, kijk daar gaat-ie het uitrekenblaadje af, de tafel op, de tafel af, de hoek om. Ergens halverwege wordt een aftrekfout gemaakt.. oeps.. de som komt niet uit juf..snik..ik kan dit niet!

Martin Bootsma (Werkzaam in het basisonderwijs)

• In de laatste Staat van het Onderwijs staat de kille constatering dat 10% van de leerlingen eind groep 8 het minimale niveau 1F niet haalt. En wie de inhoudelijke invulling van dit niveau kent, weet hoe treurig dit is.
• De rekenmethodes die zeer talig zijn en werken met thema’s die voor veel leerlingen nietszeggend zijn, leren kinderen in onvoldoende mate een basis om door te groeien naar goede, vaardige rekenaars. Veel methodes leren kinderen rekenen in een nietszeggende context, zonder er eerst voor te zorgen dat de basisbewerkingen – de rekenrecepten – goed zijn geautomatiseerd dan wel gememoriseerd.
• Het eerste wat ik heb gedaan toen ik in Amsterdam een basisschool overnam is dat ik de talige rekenmethode met zijn rekenraadsels in de container heb gegooid. Een ritueel proces dat de volledige instemming had van de collega’s die daar werken. Nog geen jaar verder, met een niet-realistische methode, schieten de resultaten omhoog.
• Ik vind de term ‘verwoesting’ niet ver bezijden de waarheid. Ik zeg dit vanuit het perspectief van een 22-jarige carrière in het primair onderwijs. De scherpte van Joost Hulshof is op zijn plaats en die kan ik alleen maar onderschrijven. Vriendelijk praten is fijn, maar als je verantwoordelijk bent voor de toekomst van veel relatief kansarme kinderen, moet je ook in hun belang handelen. En veel rekenmethodes zijn voor mijn leerlingen niet geschikt om hen vooruit te helpen.
• Er is een grote industrie om leerlingen aan het eind van de basisschool bij te spijkeren op de elementaire vaardigheden. Er zijn rekentrainingen die 1.000 euro kosten. Scholen halen door de deelname van hun leerlingen aan zo’n training prachtige resultaten. Ouders van onze leerlingen kunnen zich dat niet veroorloven. En als wij goed onderwijs geven en inhoudelijk de juiste keuzes maken is dit ook niet nodig. Ik wil door het best mogelijke onderwijs die prachtige resultaten halen.

Marcel Schmeier (Bevoegd onderwijzer. Onderwijsadviseur)

Schmeier is auteur van de veelgeprezen boeken ‘Expliciete Directe Instructie’ en  ‘Effectief rekenonderwijs op de basisschool’. Hij is groot voorstander van Directe Instructie.

[Leren van uitgewerkte voorbeelden] [Wat is er mis met ons rekenonderwijs?]  [Goed leren rekenen op de basisschool]

• Om het begrip van kinderen te vergroten, wordt de leerstof in een realistische rekenmethode verpakt in aansprekende verhalen en voorzien van veel plaatjes. In de praktijk leidt al deze extra informatie tot cognitieve overbelasting, onduidelijkheid en afleiding. Leerlingen zien door de bomen het bos niet meer en er ontstaat verwarring in plaats van begrip.
• Verhaaltjes en contexten horen niet aan het begin van een leerproces, maar vormen het sluitstuk. Als kinderen in de rekenles iets nieuws leren, dan moeten ze niet worden afgeleid door teksten en ingewikkelde contexten.
• Uitgewerkte voorbeelden zijn niet alleen leerzaam voor leerlingen die moeite hebben met rekenen, maar ook voor gemiddelde en sterke rekenaars.
• Het opdelen van de opgave in afzonderlijke stappen ontlast het werkgeheugen en helpt de leerlingen om zich de volledige oplossingsprocedure geleidelijk en grondig eigen te maken.
• Één som op vier manieren aanleren is verwarrend en slijpt onvoldoende in.
• Zelfuitleg is effectiever wanneer leerlingen het uitgewerkte voorbeeld van de expert moeten verklaren dan wanneer ze hun eigen denkwijze of oplossing moeten toelichten.
• De doorgeschoten focus op begrip maakt het werk van leerkrachten onnodig moeilijk en leidt tot complexe rekenopgaven waarin leerlingen verdwalen. Het werken aan begrip draagt paradoxaal niet bij aan meer inzicht, maar zorgt juist voor verwarring en onbegrip.
• Sommige vernieuwers beweren dat kennis onderwijzen de natuurlijke nieuwsgierigheid van kinderen doodt. Ik denk dat kennis onderwijzen hun nieuwsgierigheid juist voedt. Je kunt immers niet nieuwsgierig zijn naar iets dat je niet weet. Als je iets weet, wil je er meer over weten.

Berrie van den Bovenkamp (Onderwijzer)

[Nieuwsuur: Niks nieuwe lesmethoden, ouderwets sommen stampen terug van weggeweest]

Door de overgang op traditioneel rekenen leerden de kinderen in groep 5 in 6 weken tijd hetzelfde als met realistische rekenen in een jaar.

• Ik ben meer van het traditionele rekenen. Van oefenen komt het begrip. Sinds dat ik het anders doe zijn de resultaten beter geworden, en kinderen vinden het ook leuker.
• Ik werk om het huidige lespakket heen, absoluut. Ik ben er achter gekomen dat het niet oplevert wat het op zou moeten leveren. Gewoon veel sommen en rijtjes oefenen doet de resultaten wel stijgen.
• Kinderen worden afgeleid door al die plaatjes, ik word er ook door afgeleid.
• Realistisch rekenen wekt verwarring, kinderen weten niet meer wat ze aan het doen zijn.

Remco Busink (Oud-onderwijzer)

• Ik ben het eens met de mening van Jan van de Craats. Als oud-onderwijzer heb ik ook gewerkt met de realistische rekenmethode en het kolomrekenen. Was dat in het voordeel van de leerlingen? Jazeker, maar slechts voor de 5 procent kinderen met een ‘rekenknobbel’ die later een atheneumadvies zouden krijgen; 95 procent van de leerlingen ondervonden de nadelen ervan.
• Ondanks de enorme hoeveelheid tijd en energie die door leerkracht en leerling werden geïnvesteerd, brak het inzicht niet door en bleef de rekenvaardigheid achter.
• Wat is er tegen het aanleren van een techniek? Wanneer je die beheerst, heb je iets in handen wat je in het dagelijks leven kunt gebruiken en anders ben je tijden bezig geweest met zaken die je boven de pet gaan. Verloren tijd!
• Mevrouw van den Heuvel-Panhuizen beweert niet ‘terug’ te kunnen naar het mechanisch rekenen. Hoezo niet? Het kenmerk van wetenschap is toch dat het inzicht kan veranderen. Anders zou ik het ‘geloof’ willen noemen. Natuurlijk moeten getalenteerde rekenaars de kans krijgen het inzicht te vergroten, maar daar is altijd wel een mouw aan te passen.

Riet Bosman (Docente wiskunde)

• Mijn zoon krijgt door de directrice van zijn school uitgelegd dat 24 : (1/4) = 6. Dit wordt op verschillende manieren uitgelegd, maar mijn zoon wil er niet aan, want 24 gedeeld door 1 is 24 en 1/4 is minder dan 1 dus moet er meer uitkomen. Zij vindt nog steeds dat er 6 uitkomt en om het te bewijzen pakt ze een rekenmachine en toetst ’24 : 1 : 4 =’ in en krijgt 6. Zie je nu wel!! (. . .)

Annemieke Dijkmans (Studente Speciale Onderwijszorg aan de Fontys Hogeschool)

[Talig rekenen (scriptie)]

• Uit onderzoek is gebleken dat leerlingen die in de klassikale les hebben laten zien dat ze de rekenstof beheersen, in nieuwe talige contexten deze stof niet altijd weten toe te passen.
• In realistische rekenopgaven zijn de vragen nog wel eens misleidend geformuleerd. Hierdoor worden de leerlingen op het verkeerde been gezet.
• Bij het realistisch rekenen staan de opgaven in kleine verhaaltjes. Om deze opgaven te kunnen oplossen, moeten de leerlingen deze verhaaltjes begrijpen. Ook al kunnen de leerlingen prima rekenen, door een onbekend woord zijn ze niet in staat de opgave op te lossen. Ook kunnen leerlingen moeite hebben met dagelijkse woorden die in contexten worden gebruikt.
• Realistisch rekenen is ontstaan vanuit de gedachte dat je moet begrijpen wat je doet. Maar hier zijn de meningen over verdeeld. Sommige mensen vinden dat je een som niet eerst hoeft te begrijpen. Het begrip komt wel als je de som eerst heel vaak hebt gedaan. Daarna kun je gaan bedenken waarom het eigenlijk zo moet. Je bouwt routines op door veel te oefenen en dan ga je het vanzelf begrijpen. Het is net als bij leren lezen. Je leert kinderen op één manier lezen. Zo moeten leerlingen ook leren rekenen, door de basisbewerkingen op één manier goed aan te leren. Daarna komen de verschillende contexten wel.

Aydin Cihangir (Wiskundige van het Nederlands Mathematisch Instituut)

Hij is ontwerper van de cursus ‘Foutloos Rekenen’.

• Door slechte lesmethoden op de basisschool zien kinderen rekenen als iets moeilijks. Veel leerlingen ontwikkelen daardoor niet hun rekenvaardigheid, maar juist een aversie tegen rekenen.
• Voor het rekenonderwijs geldt dat methoden zo omslachtig zijn, dat leerkrachten zelf geen raad meer weten met de te onderwijzen stof.
• Kinderen leren bijzonder veel, als de instructies maar helder zijn.
• Sinds directe instructie van de leraar naar het verdomhoekje is verbannen, gaan de prestaties van Nederlandse scholieren bergafwaarts.
• Verbeteringen in het fundament van het rekenonderwijs zijn hard nodig om de dramatische daling van het niveau een halt toe te roepen.
• Uit onderzoek blijkt dat je kinderen tussen de negen en dertien jaar goed breuken kunt aanleren, later gaat dat meer moeite kosten.

Ron Aharoni (Hoogleraar wiskunde, Israël)

Aharoni is in Israël een belangrijk strijder voor goed rekenonderwijs. Hij is schijver van o.a. ‘Kinderen leren rekenen’ (ook in het Nederlands verkrijgbaar). “In dit boek beschrijft hij zijn ervaringen toen hij als rekendocent op een basisschool ging werken. Vanuit deze concrete ervaringen ontwikkelt en beschrijft hij een rekendidactiek die gestoeld is op de wiskundige structuur van de rekenkunde, en die het rekenen stapje voor stapje, zeer gestructureerd en met veel oefening aan de kinderen uitlegt. Zijn liefde voor de schoonheid en de historie van de wiskunde komt impliciet en expliciet op veel plaatsen naar boven.”

[Ron Aharoni’s Home Page on Elementary School Mathematics]

• De laatste decennia neemt het gebruik van de rekenmachine toe op de basisschool. De hierdoor aangerichte schade is enorm.
• De rekenmachine is het ultieme hulpmiddel: de leerling hoeft niets van de leerstof te begrijpen om haar te kunnen gebruiken. Niemand kan de taak van het begrijpen van het kind overnemen. Iedereen moet zelf dat proces doorlopen, moet op zijn eigen manier kunnen experimenteren met de concrete basis van de abstracties. Zonder die ervaring blijft begrijpen een zuiver verbaal en inhoudloos gegeven.
• Internationale rekentesten toonden aan dat het gebruik van rekenmachines op de basisschool uiterst beperkt was toegestaan in de landen die zich op de eerste vijf plaatsen van de ranglijst bevonden. In de tien slechtst scorende landen werden de rekenmachines veel meer gebruikt dan in de tien best scorende landen.
• The current trend in education is to make children happy in their studies, so as to prevent “math anxiety.” My experience is that children are happiest when they truly understand the principles of mathematics, not when we make believe that they do.

Henriette Boersma (Auteur van Het Grote Rekenboek)

• Het voortgezet onderwijs ziet zich voor de taak gesteld aanvullend rekenonderwijs aan te bieden aan leerlingen die na de basisschool niet op het gewenste referentieniveau kunnen rekenen.
• Wat gaat er mis op de basisschool? Er wordt daar heel wat af gerekend, maar in de bovenbouw is meer aandacht nodig voor de systematische beheersing van alle rekentechnieken, waaronder cijferen, rekenen met breuken en procenten en metend rekenen. Dit wordt nogal eens als ouderwets gezien.
• Het ‘droog’, dus zonder context, aanleren van rekentechnieken gaat systematischer en overzichtelijker. De leerlingen herkennen sompatronen, procedures en dat geeft ze houvast en overzicht, tilt ze naar een hoger rekenniveau. Het toepassen in contexten is het einddoel en krijgt terecht veel aandacht, maar moet in stappen worden aangeleerd.

Mark van der Veen (Docent basisonderwijs)

[Een man op de PABO]

• We hebben het overigens over de tijd van ‘het nieuwe leren’ en ‘realistisch rekenen’. Ook op de pabo kregen deze didactische zienswijzen ruimschoots aandacht. Het schiep verwarring onder studenten. Velen begrepen niet zo goed hoe ‘actief en zelfontdekkend leren’ er nu in de praktijk uitzag. Achteraf is dat natuurlijk ook niet zo vreemd. Vandaag de dag zorgt het nog steeds voor veel verwarring in het gehele onderwijs, net zo goed als realistisch rekenen dat doet.
• We kregen op de pabo vaak te horen dat ‘de staartdeling slechts een trucje is en geen dieper begrip ontwikkelt bij jonge kinderen.’ We konden kinderen beter leren rekenen met de hapmethode of herhaald aftrekken. Ook droge sommen waren geen goed idee. ‘Sommen hebben veel meer waarde in een context.’ In mijn jaren als leraar heb ik het vermogen van kinderen om sommen te automatiseren aan de hand van realistische rekenmethodes zien kelderen. En dat doet pijn.

Hans van Luit (Hoogleraar met als leeropdracht ‘Diagnostiek en behandeling van kinderen met dyscalculie’)

[Verwonderd overdenken; hoe moeilijk kan rekenen zijn?]

• Zo reikt de meest gebruikte methode van Nederland ‘Wereld in getallen’ de leerlingen in de nieuwste versie een alternatieve strategie voor cijferende aftreksommen aan. Kijkt u eens rustig mee. De auteurs hebben eerst de opgaven uitgerekend, waarschijnlijk met behulp van een rekenmachine, want het antwoord is goed. De eerste en de vierde som kennen een goede berekening, maar bij andere drie gaat het fout. Als voorbeeld neem ik de laatste som: 700-100 is inderdaad 600, 10-70 is evenwel geen -40 maar -60, en 2-6 is geen -6 maar -4. De auteurs denken te veel traditioneel aan cijferend rekenen en hebben het aftrekken met negatieve getallen nog niet goed onder de knie. U snapt het al, afwijken van de standaardprocedure is niet voor iedereen even gemakkelijk, laat staan om deze uit te leggen aan kinderen die bij gewoon cijferend rekenen toch al moeite genoeg hebben een standaardprocedure adequaat uit te voeren.
• Helemaal opmerkelijk is dat het ministerie veel geld stopt in reisjes van ambtenaren, inspecties en rekendeskundigen naar Finland, om hen daar met eigen ogen te laten aanschouwen hoe het rekenonderwijs nog beter gegeven kan worden. Finland stond, net als Nederland, voorheen hoog in de ranglijst, maar is inmiddels weggezakt naar een 17e plek, niet veel beter dan Nederland dus. Weggegooid geld zou ik zeggen. Ze kunnen al die mensen beter naar Vlaanderen sturen, dichter bij huis en dus veel goedkoper. Ik snap natuurlijk ook wel dat een tripje naar Finland veel aantrekkelijker is dan een bezoek aan Vlaanderen, maar het gaat er toch om dat het doel de middelen heiligt.
• Kinderen in Vlaanderen doen het met een 11e plek beduidend beter, dan kinderen in Finland en Nederland. Wat is het verschil in rekenen tussen Nederland en Vlaanderen? In Nederland is het rekenwiskundeonderwijs vooral gericht op het toepassen van kennis, terwijl in Vlaanderen het onderwijs is gericht op het opdoen van kennis. De toetsen die in TIMMS worden gebruikt bestaan voor het grootste deel uit toepassingsopgaven, maar om die goed op te kunnen lossen is kennis nodig. Vlaamse kinderen beschikken over die kennis en kunnen die blijkbaar ook nog goed toepassen, terwijl bij veel Nederlandse kinderen de nodige basiskennis ontbreekt en dus ook niet gebruikt kan worden om, veelvuldig geoefende toepassingsopgaven, adequaat op te lossen. Je zou toch denken dat op basis van deze informatie bij de overheid een lampje moet gaan branden…
• Ook het feit dat het rekenniveau in Nederland de afgelopen 20 jaar alles behalve is verbeterd in internationale rankings, lijkt geen consequenties te hebben voor een andere invulling van het rekencurriculum en veel meer aandacht voor instructie. De overheid gelooft nog steeds dat de ingeslagen weg de manier is om het rekenen in de basisschool te verbeteren. Na tientallen jaren gigantische hoeveelheden geld in het Freudenthal instituut afdeling basisonderwijs gepompt te hebben, zijn nu de bakens verzet en wordt Curriculum.nu omarmt. In deze vernieuwing ontbreekt volgens velen, waaronder ik, echter een adequate vakdidactische visie op doorgaande rekenleerlijnen. …….Dat belooft voor zwakke rekenaars niet veel goeds. En als de gerefereerde literatuur wordt nagegaan, dan zijn het nagenoeg uitsluitend de vroegere Freudenthal medewerkers en hun volgelingen die worden aangehaald, dus komt de vernieuwing grotendeels neer op nieuwe wijn in relatief oude zakken.

Dr. Tjip de Jong (docent economie, wetenschapper, organisatieadviseur)

[Zo leert mijn zoon 1+1=11]

• Reken uit: 1+1 = ? Wacht even. Niet te snel antwoorden. Eerst reflecteren! Hoe dacht je deze som aan te pakken? Werk je met de getallenmuur, ga je stapelen, tel je met het rekenrek, de tegelvloer of toch maar de getallenslang? Of besluit je voor een bewezen klassieker te gaan en pak je het telraam erbij? Dat telraam moet je dan wel even openen op je tablet. Batterij leeg? Bezet? Kijk dan even op bladzijde 34 van boek 3.2 A, daar staat een telraam met bolletjes die je kunt inkleuren, aankruisen, verbinden of wegstrepen.
• Bovenstaande methodieken zijn zomaar een greep uit de verschillende aanpakken die in de vele rekenboeken voor het basisonderwijs te vinden zijn. Ze vormen de zoveelste poging om rekenen leuker en aantrekkelijker te maken. Eén ding hebben al deze boeken met elkaar gemeen: de nadruk ligt op zelfontdekkend leren. Vanaf jonge leeftijd wordt van kinderen verwacht dat ze individueel een oplossing bedenken voor een rekenprobleem.
• ‘Rekenrijk, Rekentijgers, Squla, Snappet, Getal en Ruimte, Pluspunt, de boekenlijst is eindeloos. Wat ik in alle deze boeken terugzie, is een rekenoerwoud gericht op taal, lange verhaaltjes, steeds weer nieuwe terminologie en onduidelijk beschreven opdrachten. Het is voor mij als ouder niet meer te volgen wat de instructie, de opgave of de aanpak is die in de sommen wordt gevraagd. De aankleding leidt af van de essentie van leren rekenen: het memoriseren van de rekenregels, het inslijten van een standaard aanpak en het vergroten van het werkgeheugen.
• Goed kunnen rekenen vraagt het omgekeerde van zelfsturing: het is noodzakelijk om kinderen een heldere structuur aan te leren. Dat vergt discipline en herhaling, iets waar het huidige onderwijs juist van weg beweegt. Dit leidt tot grote onzekerheid bij kinderen. Ze begrijpen niet wat ze fout doen wanneer het antwoord niet klopt en snappen niet wat ze goed doen, wanneer hun antwoord wél klopt.
• Er wordt niet meer getraind op inzicht in getallen, in logica of gestructureerd berekenen. De gelegenheid om rekenkundige kennis te laten inslijten wordt daarmee geminimaliseerd.
• Via de rekenkundige wetten ontwikkelen kinderen inzicht, zelfvertrouwen en stevigheid. Ze ontdekken dat het naleven van de rekenregels werkt. Want: als je de regels volgt, kom je vanzelf bij het goede antwoord. Dit leert kinderen dat je kunt vertrouwen op bepaalde structuren en wetten.
• Ouders organiseren privéles of schrijven kinderen in op bijspijkercursussen. Dat brengt nogal wat kosten met zich mee, dus als we niet oppassen wordt goed leren rekenen een voorrecht voor kinderen van welgestelde ouders.
• “Een oude of nieuwe rekenmethode maakt niet zoveel uit, de leerkracht maakt uiteindelijk altijd het verschil.”    Toch overtuigt dit argument mij niet. Het klinkt als een redenering om het echte probleem te maskeren. Een goede docent kan óók met de huidige methode een leerling leren rekenen. Het probleem is dat een gemiddelde of zwakke docent dat niet kan. Hij of zij zal niet kunnen steunen op de structuur van één (of een eenduidige) logica, en verdwaalt in de veelheid van aanpakken, denkwijzen en vormgeving.

Breuken

Robert Siegler (Professor of Psychology at Columbia University, Teachers College)

*Fractions: Where It All Goes Wrong*

• Many children never master fractions.
• Fifth graders’ fraction knowledge predicts high school students’ algebra learning and overall math achievement.
• This weak knowledge of fractions is especially unfortunate because fractions are foundational to many more advanced areas of mathematics and science.
• On the reference sheets for recent high school AP tests in chemistry and physics, fractions were part of more than half of the formulas.
• In a recent survey of 2300 workers, more than two-thirds indicated that they used fractions in their work.

_______________________________________________________

Voortgezet onderwijs

Prof. Frans Keune (Hoogleraar wiskunde)

Tijdens zijn oratie, getiteld  ‘Naar de knoppen’, uitte Prof. Keune kritiek op het wiskundeonderwijs op middelbare scholen.

[Naar de knoppen]  [Algebra en onderwijs]

• De moderne wiskundemethodes op de middelbare school zijn een ramp voor het ontwikkelen van wiskundig inzicht. Plakken en knippen nemen de plaats in van logisch abstract redeneren.
• Realistische wiskunde bestaat niet. Met zoiets bereik je niks, evenmin als met abstract voetballen.
• Vele collega’s die exacte vakken doceren constateren bij beginnende studenten een gering vermogen tot abstractie en een geringe vaardigheid in redeneren. Het verwaarlozen van bewijzen heeft daar echt wel mee te maken.
• Het is onwenselijk, zeker voor het VWO, als naast de wereld van de wiskunde er ook nog een andere is, die van de schoolwiskunde, een eigen soort wiskunde waarin het niet meer om de logica gaat, een surrogaatwiskunde. Kenmerken daarvan zijn: het hanteren van niet omschreven begrippen, het hanteren van ongebruikelijke terminologie en het gebruik van incorrecte redeneerwijzen. In de westerse wereld is er de tendens de wiskundige manier van denken uit het wiskundeonderwijs te elimineren. En Nederland is daarin kampioen. Logisch denken is niet altijd eenvoudig en onderwijskundigen doen hun best om aan te tonen dat het helemaal niet zo belangrijk is. Het resultaat is wiskunde zonder logica. Wat resteert is een gereedschapskist.
• Abstractie is ontstaan uit een behoefte tot helderheid en is een wezenlijk onderdeel van de kracht van de wiskunde. In het huidige wiskundeonderwijs is te weinig aandacht voor deze helderheid.
• De gedachte overheerst dat goede wiskunde moeilijke wiskunde is en dat je in het onderwijs alles moet vermijden wat moeilijk is.
• In mijn inaugurele rede van 1998 uitte ik mijn zorgen over het wiskundeonderwijs. Mijn voornaamste zorg betrof de praktijk van de realistische wiskunde in de lagere klassen van het VWO, waar sprake was van een totale eliminatie van abstractie en logica. Niet iedereen was blij met mijn kritiek, zeker niet diegenen die verantwoordelijk waren voor dit onderwijs, zoals Prof.  Jan de Lange, de toenmalige directeur van het Freudenthal Instituut. Zijn eerste reactie was te lezen in NRC Handelsblad: mijn oratie was ‘van een treurigheid zonder weerga’ en ik had een ‘beperkt denkraam’. Later dat jaar herhaalde hij zijn kritiek in de Nieuwe Wiskrant.
• We kunnen nu de grafische rekenmachine gaan gebruiken in het onderwijs. Functies als de sinus krijg je in de vorm van een grafiek op een schermpje. Door waarnemen kun je nu eigenschappen aan de grafiek aflezen. Je kunt op het scherm zien dat bijvoorbeeld de som van de kwadraten van de sinus en de cosinus gelijk is aan 1. Je hoeft dan niet te begrijpen wat de sinus en de cosinus zijn en ook niet dat het hier om de Stelling van Pythagoras gaat. Zo’n grafische rekenmachine is een doos met knoppen. In de handen van sommigen kan het in het onderwijs ingezet gaan worden om de wiskunde om zeep te helpen. Die is dan pas echt naar de knoppen. Onze hersenspinsels zijn dan niet in eerste instantie gericht op het beheersen van de realiteit, maar op het beheersen van deze doos met knoppen.
• Kees Hoogland blijft roepen en schrijven: ‘Houd toch op met dat gezeur over die algebraïsche vaardigheden’. Ik ben benieuwd wat er zou gebeuren als er een sterrenkundige met het verhaal komt dat ze eens op moeten houden met die sterren.
• Iedere wiskundige kan vertellen hoe belangrijk mondelinge kennisoverdracht voor hem of haar is geweest, maar naar wiskundigen wordt niet geluisterd.

”Wat ik niet goed begrijp is dat zo’n wiskundige [Frans Keune] publiekelijk een oordeel uitspreekt over realistisch wiskunde zonder zich in de theorie daarvan te verdiepen of zich te laten voorlichten door erkende deskundigen op dit terrein.”      Martin Kindt (Freudenthal Instituut)

Karin den Heijer (Docente  wiskun­de aan het Erasmiaans Gymnasium in Rotterdam)

• Kinderen krijgen rekenvaardigheden al op de basisschool verkeerd aangeleerd.
• De juf van mijn zoon weet niet wat een staartdeling is. Die heeft dat ook nog nooit gezien.
• Scholen worden overspoeld met aanbiedingen van commerciële instellingen en adviesbureaus die voor veel geld cursussen en materiaal aanbieden. Marktpartijen komen met onnozele en overbodige zaken.
• Als lerares ontvang ik regelmatig allerlei ‘onderwijs-glossy’s’ met mooipraterij en reclame. Zo komt een onderwijsbureau met een ingewikkeld verhaal over ‘het succesvol invoeren van de referentieniveaus taal en rekenen’. Scholen kunnen vervolgens cursussen voor ‘rekencoach’ inkopen. Ook kunnen bedrijven tegen betaling diagnostische toetsen aan scholen leveren.
• Drie landelijke pedagogische centra adviseren scholen over ‘schoolprofilering’, ‘natuurlijk leren’ en ‘synergie in het onderwijsproces’, et cetera. Bekijk hun websites maar eens. Het gaat daar niet over hoe je breuken uitlegt. Intussen kunnen mijn leerlingen niet meer fatsoenlijk delen en vermenigvuldigen.
• Hoe moeilijk kun je het maken? Om leerlingen te onderwijzen heb je maar een paar dingen echt nodig: heldere eindtermen, goed opgeleide docenten, voldoende lestijd en schone lokalen. En niet veel meer. Mijn vraag aan de minister van onderwijs is: waar is al dat onderwijsgeld aan besteed?

Frans van Haandel (Docent Wiskunde VO Bovenbouw)

[Een persoonlijk perspectief op onderwijs2032]

• Terwijl ik beginnend wiskundedocent was, hebben mijn kinderen de basisschool doorlopen. Ik begon als docent vrij blanco qua wat wel en niet werkt en wist niet hoe het wiskunde onderwijs er voor stond. In mijn docentopleiding zaten de in die tijd de vanzelfsprekende zaken van het ontdekkend leren: bijvoorbeeld in de vorm van de leerpiramide dat je vooral leert door zelf te doen en bijna niets leert van uitleg. Ik nam het als feit zonder meer aan. Ik merkte natuurlijk wel al snel dat het rekenniveau van mijn leerlingen laag was en zag gelijktijdig de worstelingen op de basisschool met ‘Realistisch Rekenen’  waarbij  aanpakken als kolomrekenen en herhaald aftrekken worden gebruikt.
• Het was echt schrikbarend om te zien dat een kleine groep onderwijshervormers op basis van aannames het reken- en wiskundeonderwijs vernieuwd heeft. De staartdeling staat daar symbool voor. Leerlingen leren nu de ‘hapmethode’, feitelijk herhaaldelijk aftrekken. Ik denk dat enkele onderwijshervormers die hier aan de wieg van stonden zelf de staartdeling niet goed begrepen, want de staartdeling staat nu voor velen bekend als een mechanistische methode zonder begrip. Dit terwijl staartdelen gemakkelijk begrijpelijk is uit te leggen. Het is simpelweg een eenvoudige notatie van een intuïtieve en efficiënte manier van delen. Staartdeling is het tegengestelde van een trucje!
• Met de invoering van het ‘Realistische Rekenen’ werd niet geluisterd naar de werkvloer. Dat is nog eufemistisch uitgedrukt: er is juist vasthoudend doorgegaan op basis van ideologie. Inhoudelijke kritiek is structureel en geïnstitutionaliseerd weggezet als zure tegenwerking.
• Hans Freudenthal zag dat hoogbegaafden prima leerden op een zelf-ontdekkende constructivistische manier. Maar het is een grote fout om daaruit te concluderen dat zelf-ontdekkend leren beter is. Voor hoogbegaafden is het simpelweg zo dat ze op alle manieren gemakkelijk leren. Zijn bevindingen zijn echter veralgemeniseerd tot de conclusie dat alle leerlingen daarmee beter leren. Maar voor de meeste leerlingen is meer opbouw en structuur nodig. Het is ongelofelijk dat zo’n simpele denkfout jaren later nog zo’n impact heeft. Dat doet me dan weer denken aan die leerpiramide waarvan allang is aangetoond dat het onzin is. Toch blijft hij opduiken.
• “Gemopper op het rekenniveau is van alle tijden”. Dan zal zo zijn. Waar je wel naar moet kijken is het werkelijke rekenniveau. Leg leerlingen van nu maar eens het ‘toelatingsexamen voor de mulo van 1959’   voor. Als ze dat kunnen, laat ze dan een stukje  ‘toelatingsexamen van 1924’  proberen. Ik deed dat bij mijn leerlingen in vwo 4. Alleen een groepje van vier ‘plusleerlingen’ kon samenwerkend in 60 minuten één van die opgaven van 1924 oplossen. Helaas was hun antwoord door rekenfouten fout. De meeste leerlingen konden zelfs met rekenmachine de opgaven van 1924 niet. Als de huidige ‘rekentoets’ ergens goed voor is dan is het dat het nogmaals aantoont dat het rekenniveau nu schrikbarende laag is. Ik heb nog geen rekentoetsopgave gezien die het rekenniveau groep 7 van de basisschool ontstijgt. En toch moeten we ploeteren om een vwo bovenbouw leerling met het cijfer 5 dit ‘voldoende’ te laten maken. Dat zegt niets over de leerlingen en alles over de ‘realistisch’ rekendidactiek waarmee ze zijn opgegroeid.
• Veel onderwijsproblemen ontstaan uit ongefundeerde zweverij zoals ‘hogere orde wiskundig denken’. Wiskunde is geen hogere orde denken, het is een ambacht dat veel oefenen vergt.

Prof. Dr. Ruud Schotting (Hoogleraar Watermanagement. Hij geeft wiskunde aan eerstejaarsstudenten Geowetenschappen)

Tijdens zijn oratie heeft Schotting met een hamer een grafische rekenmachine stukgeslagen. Hij kreeg hiervoor een staande ovatie.

[Weg met die grafische rekenmachines]

• In het middelbaar onderwijs voltrekt zich een rekenramp. Ondanks zes jaar middelbaar onderwijs mist een meerderheid van de eerstejaarsstudenten de meest elementaire wiskundige vaardigheden. Al tijdens mijn eerste werkcollege was ik geschokt door het lage niveau van mijn studenten. Haakjes wegwerken, breuken op elkaar delen, iets met wortels doen: een ruime meerderheid heeft geen idee waar ze mee bezig is. Er is iets grondig mis met het wiskunde-onderwijs op middelbare scholen. Dat is gewoon schandalig. De grafische rekenmachine is de grootste boosdoener. Een andere oorzaak is de doorgeschoten onderwijsvernieuwing.
• Laatst stond ik voor 150 man een machtsvergelijking door (x­-1) te delen – met een staartdeling, want ik weet niet hoe het anders moet – toen het achter me onrustig werd. Ik draaide me om en vroeg wat er aan de hand was. Ze bleken niet te weten wat ik aan het doen was. Op mijn vraag wie er nog nooit van een staartdeling had gehoord, stak de helft zijn vinger op. Even later stond ik dus in een academisch college 100 door 5 te delen om uit te leggen hoe een staartdeling werkt.
• Ik vind de grafische rekenmachine een volstrekt onzinnig apparaat om al in het basiswiskunde onderwijs te introduceren. De helft van de opgaven moeten ze hiermee oplossen. Ze drukken maar wat knopjes in en hebben geen flauw benul waar ze mee bezig zijn.
• Door leerlingen al vroeg met de grafische rekenmachine te laten werken, wordt hen de kans ontnomen om de wiskundige basisvaardigheden op te doen.
• Een wiskundesom is een lang lulverhaal geworden omdat die som ergens over moet gaan.
• Wat hebben deze vernieuwingen opgeleverd? Helemaal niets. Alleen paniek bij leerlingen en verwarring over wat wiskunde eigenlijk is. Wij zijn ook het enige land ter wereld waar de gebruiksaanwijzing van een grafische rekenmachine tot eindexamenstof voor de havo en het vwo verheven is. Die rekenmachine zou verboden moeten worden: ‘grafische-rekenmachinevrije school’ zou een mooi bord zijn bij de ingang van een middelbare school. Onder de 18 jaar geen verkoop van grafische rekenmachines! Net als drank en sigaretten.
• Bij Geowetenschappen is inmiddels een zomercursus Wiskunde in het leven geroepen om de aansluiting met de universitaire Wiskunde nog enigszins dragelijk te maken.
• Hoe kan het zijn dat Duitsers, Chinezen, Russen en Iraniërs zo veel beter zijn in wiskunde en rekenen? Dat is zo omdat ze niet blootgesteld zijn aan het ‘realistisch rekenen’ en aan de terreur van grafische rekenmachines. Wiskunde is een prachtig vak. Weg met ‘contextsommen’, weg met grafische rekenmachines, weg met die vernieuwingen. Laten we genieten van de wiskunde zelf. Mooi en leuk!
• Wist u dat wetenschappelijk onderzoek naar de effectiviteit van grafische rekenmachines op de middelbare school werd bekostigd door Texas Instruments, inderdaad de leverancier van die machientjes. En zowaar, u zal het vast niet kunnen geloven: de grafische rekenmachine bleek een grote aanwinst voor het middelbaar onderwijs in Nederland te zijn!
• Wie waren er toch verantwoordelijk voor het woekeren van die grafische rekenmachine, het realistisch rekenen, het afschaffen van de staartdeling…, kortom voor de teloorgang van het reken- en wiskundeonderwijs in Nederland?  Net als bij de woekerpolissen: figuren die er zelf ook een groot belang bij hadden!  En wij en honderdduizenden middelbare scholieren zitten nu dus met de gebakken peren.

Wim Groen (Faculteit Exacte wetenschappen VU Amsterdam)

[Een instaptoets voor wiskunde] [Vier decennia wiskundeonderwijs]

• In de hulplessen probeerden we duidelijk te maken dat je niet bij elke stap moet terugvallen op de rekenmachine, dat je ook voor wiskunde een hoeveelheid parate kennis moet hebben en dat je een aantal dingen op de automatische piloot moet kunnen uitvoeren.
• Een aantal regels en verbanden moet je zonder tabellen of naslagwerken kunnen gebruiken.
• Moeten we ervan uitgaan dat voortaan exp(ln3a) alleen via intoetsen op de rekenmachine tot 3a kan worden vereenvoudigd? Maar je kunt toch niet voor elke handeling naar de rekenmachine grijpen!
• We vonden en vinden bijvoorbeeld dat de opgave ‘gegeven sin α = ; bereken cos α’ niet moet worden opgelost door op de rekenmachine via de knop sin¯¹ eerst α te bepalen en dan vervolgens met de knop cos de waarde van cos α te vinden.
• Ook vinden we dat
  lim x-> 0 (sin 2x / sin 3x)   niet moet worden uitgerekend door met de rekenmachine functiewaarden in de buurt van x = 0 te bepalen en daarna te gokken dat het antwoord wel 2/3 moet zijn.
• Het mag niet zo zijn dat je zonder de (grafische) rekenmachine volstrekt hulpeloos bent.
• Via de publicaties over de aanpassingen van de VWO-programma’s en recente schoolboeken proberen we zo goed mogelijk bij de ontwikkelingen in het VWO aan te sluiten. Toch gaven tijdens de opfriscursus nogal wat leerlingen te kennen dingen voor het eerst te zien (de rol van de eenheidscirkel bij de goniometrische functies, operaties met limieten, gebruik van de ln-functie).
• Of moeten we de eis om wiskunde B1,2 te hebben gevolgd om zekere vakken te kunnen studeren gewoon afschaffen, zodat we voor elke academische studie de nodige wiskunde van de grond af moeten/kunnen opbouwen?

Cécile Heesterman (Docent Wiskunde aan een Lyceum in Leiden)

• ‘Saai!’ riep één van mijn beste leerlingen in 6VWO na het centraal examen wiskunde B. ‘Daar wordt je lui van!’ of ‘Opgaven voor mietjes!’ riepen anderen. Zij waren niet bijzonder in hun nopjes met het examen. Wat denk u?  Drie uur lang hebben zij niet hoeven laten zien dat zij wiskunde beheersen. Het ging, alweer, om trucjes, om knopjes en vooral ook om trucjes met knopjes.
• En de NVvW? Wat zegt onze vakvere­niging over het knoppen­appa­raat? Wel, dat het goed is dat we leerlin­gen nu de uit­komst van een Riemann­som uit kunnen laten rekenen. Hoera, hoera, hoera! Dat mag in de krant. Dat staat in de krant (de Volks­krant van 9 februa­ri 2013). Ter verge­lijking: over het vak Neder­lands lezen we in de media dat de vakvere­niging, in samen­werking met hoogle­raren, protest aante­kent tegen het feit dat het cen­traal examen de leerlin­gen slechts vraagt om een trucje uit te voeren.
• Waarom luis­tert onze vakvere­niging niet naar waar­schuwin­gen over de rol van het Texas instru­ment in de school­wiskun­de? Onze op­dracht bestaat er onder andere uit leerlin­gen vakin­houde­lijk zo op te leiden, dat zij goed zullen kunnen functio­neren in het vervolg­onder­wijs of bij een eventue­le werkge­ver.

Jos van den Einde (Docent wiskun­de aan het Mencia de Mendoza lyceum in Breda)

• De opgaven die probe­ren aan te sluiten bij de prak­tijk, zijn meestal totaal niet realis­tisch. De metho­den zitten vol met nonsens-contex­ten. Slechts enkele opgaven sluiten werke­lijk aan bij de prak­tijk, maar zijn dan zo speci­fiek dat het niet vol te houden is dat dít de reden is van ons wiskun­deonder­wijs. Contexten zorgen slechts voor ruis.
• Wiskun­de is crea­tief leren oplos­sen. Contex­ten en de grafi­sche rekenma­chine zitten daarbij alleen maar in de weg.
• “Vroeger hadden we een functie­onder­zoek nodig, om een beeld te krijgen van de grafiek van een functie. Nu hoeft dat niet meer want we hebben de GR”, heb ik eens iemand horen zeggen. Dat is een misvat­ting. Vroeger gebruik­ten we een functie­onder­zoek in ons onder­wijs om de leerlin­gen analy­tisch aan het denken te zetten. Dat de grafiek het eindre­sultaat was, is irrele­vant.
• Als de GR niet bij­draagt aan ons onder­wijs­doel, is er nog maar één conclu­sie moge­lijk. Afschaf­fen. Behalve mis­schien bij statis­tiek, een vak dat naar mijn mening niet in de wiskun­de thuis hoort en als apart vak gegeven zou moeten worden.
• Maar ook voor de statis­tiek geldt dat de GR eerder een nadeel dan een voor­deel is. In vervolg­oplei­dingen wordt de GR meestal niet ge­bruikt maar wordt er gewerkt met SPSS en met tabel­len. Sluit hier op aan en leer ze weer stan­daardi­seren. Daar is niets mis mee. Leer ze de oplos­singen opzoe­ken in tabel­len. Als ze dat eenmaal kunnen, dan kunt u ze altijd nog een keer meene­men naar het informa­ticalo­kaal om met grote gege­vensbe­standen in SPSS te laten werken. Dan zijn ze echt realis­tisch bezig!

• De opwinding over de teloorgang van de exacte vakken komt tientallen jaren te laat. Bij elke onderwijsvernieuwing werd het abstractieniveau al verlaagd. Verkeerd was geen alternatief te bieden voor leerlingen, die wel een hoger abstractieniveau aankunnen. Nu moet een gymnasiumleerling jaren wachten tot een eenvoudig stelseltje vergelijkingen kan worden opgelost.
• Termen als ‘definitie’, ‘stelling’ en ‘bewijs’ zijn geheel uit de exacte leerstof verdwenen. Ook ontbeert het wiskunde-onderwijs, sinds de realistische rekenaars het pedagogisch alleenrecht hebben, een logische opbouw: nergens iets over termen, factoren, priemgetallen, talstelsels (toch de basis van de digitale wereld) alsmede de rol, die getallen in het leven vervullen: grootheid, factor, rangorde of code.
• De conclusie is dat wij knoppendrukkers opleiden, geen ontwerpers.
• In de onderbouw van het VWO wordt nagelaten het abstractieniveau te verhogen, zodat het NT profiel op drijfzand staat en slechts wordt gekozen door leerlingen, die veel aanleg in de wieg reeds hebben meegekregen.

Henk Tijms (Hoogleraar wiskunde/econometrie aan de VU. Schrijver van studieboeken over o.a. kansrekening, een aantal vertaald in het Engels)

• Ik krijg hier het neusje van de zalm; vwo’ers met een zwaar wiskundeprofiel. Maar ze kunnen gewoon niet meer rekenen omdat ze het slecht hebben aangeleerd. En het is moeilijk inhalen, want wat je op je 12e jaar niet beheerst, lukt dan helemaal niet meer op je 18e. De studenten kunnen discussiëren en geweldig met de computer omgaan, maar van een staartdeling hebben ze nooit gehoord.

Henk Tijms is voorzitter van de Stichting Goed Rekenonderwijs, waar gratis rekenmateriaal voor het basisonderwijs en het voorgezet onderwijs ter beschikking gesteld wordt.

• Stichting Goed Rekenonderwijs ziet het als haar maatschappelijke taak om een dam op te werpen tegen de steeds sterker toenemende kansenongelijkheid binnen het onderwijs. Niet iedere ouder kan zich de kosten van toetstrainingen en bijlessen veroorloven.
• Wij ontvangen veel klachten van ouders die een goede opleiding hebben genoten. Het verbaast hen dat de methodes erop gericht zijn dat kinderen zelf moeten ontdekken hoe rekenen in elkaar steekt.
• Iedereen kan goed leren rekenen.

Herman Ten Napel (Docent wiskunde / statistiek aan de Universiteit van Amsterdam Faculteit Economie en Bedrijfskunde)

• Ongeveer 80 procent van de eerstejaarsinstroom bij de economische faculteiten heeft op het VWO het vak Wiskunde A gevolgd. Steeds weer moeten we tot onze teleurstelling constateren dat deze studenten bepaalde basisvaardigheden van de wiskunde waar wij groot belang aan hechten onvoldoende beheersen.
• Het werken met breuken, wortels, haakjes en exponenten gaat aan de lopende band verkeerd. Zelfs de meest eenvoudige vergelijkingen en ongelijkheden kan men niet meer oplossen.
• De grafische rekenmachine wordt kwistig te pas en te onpas gehanteerd, maar welke belangrijke functies achter de knopjes sin en log schuilgaan weet men niet! (“Hoefden we niet te kennen.”)
• In arren moede zijn we op onze faculteit maar weer begonnen om in de eerste weken van het collegejaar het elementaire rekenen met breuken te behandelen, tot grote verbazing en hilariteit van onze buitenlandse studenten (Chinezen en Koreanen) die zich terecht afvragen in wat voor land ze eigenlijk terechtgekomen zijn.

Rein Nobel (Universitair docent wiskunde bij de faculteit Economie aan de VU. Hij was eerder docent wiskunde op een SG)

[Rein Nobel: Traditioneel lesgeven ten onrechte verworpen door hippe onderwijskundigen]

• Ik zit al meer dan 35 jaar in het onderwijs als docent wiskunde, eerst bij het middelbaar onderwijs en vanaf 1986 mag ik studenten econometrie aan de VU de beginselen bijbrengen van vakken als waarschijnlijkheidsrekening, analyse, mathematische besliskunde, etc. Voor een goed begrip van deze vakken is een voldoende kennis van de traditionele middelbare school-wiskunde onontbeerlijk, vooral abstractie en algebraïsche vaardigheden zijn een must.
• Sinds de invoering van de basisvorming is het met beide bedroevend gesteld, en daarom hebben wij al vele jaren geleden een `bijspijker cursus’ ingesteld om de lacunes in hun wiskundekennis aan te vullen, maar de laatste paar jaar hebben onze studenten (de meesten N&T profiel!!) ook hiermee de grootste moeite. Een instaptoets (bestaande uit alleen middelbare school sommetjes), afgenomen na 4 weken colleges, leverde een slagingspercentage van 25% op!
• Pas langzamerhand begint me duidelijk te worden dat wij inderdaad nooit in een bijspijker cursus van 7 weken kunnen bereiken wat het lager en middelbaar onderwijs volledig heeft laten liggen: iemand die niet kan rekenen, begrijpt ook niets van algebra. Daarom moeten we waarschijnlijk op de universiteit nog een stapje terug maken: een reken-bijspijker cursus.
• Iemand die de Nederlandse universiteiten nog serieus neemt is niet goed bij zijn hoofd, al het geraaskal van onze politici ten spijt. En dan te bedenken dat mijn studenten tot de crème de la crème van de exact begaafden behoren: na meer dan 20 jaar ervaring kan ik concluderen dat de populatie niet veranderd is. Het zijn nog steeds intelligente achttienjarigen, meestel van goeden wille, maar zij hebben in 12 jaar onderwijs bitter weinig geleerd, en dat is niet meer in te halen. Nederland is doodziek, en de gevolgen zullen binnen twee decennia overal te zien zijn.
• Vroeger kreeg je het vak meetkunde. Het gaf een 12-jarige al een goed idee wat wiskunde inhield. Die deductieve aanpak is verdwenen. Wiskunde werd daardoor een brei. Leerlingen wisten niet meer of uit a b volgt, of uit b a. Er zat geen structuur meer in. Ik heb meegemaakt dat jongere collega’s, dat zijn dan geen wiskundigen, niet eens wisten wat een axioma is.
• Bij wiskunde en natuurkunde heb je voor het vak sec de computer helemaal niet nodig.
• De grafische rekenmachine geeft mooie numerieke resultaten, maar in de wiskunde zijn numerieke resultaten niet zo interessant. Het gaat erom de weg ergens naar toe te vinden.
• De grafische rekenmachine is een extern geheugen voor de leerling; neem de abc-formule, ze drukken op een knop en ze hebben het. Voor binomiaal-coëffiënten drukken ze op een knop. Op mijn masterclasses zijn 4VWO-leerlingen verbluft: je kunt het ook allemaal uitrekenen met faculteiten. Studenten zien in mijn college voor het eerst hoe de abc-formule wordt afgeleidt. Voor hun gaat een wereld open.
• Door de grafische rekenmachine herkennen ze geen wiskundige vormen meer, want die zitten niet in hun hoofd.
• De hele tendens om aan te sluiten bij het dagelijks leven is funest. Pedagogen denken dat leerlingen niet geïnteresseerd raken als het te ver af staat van het dagelijks leven. Ik denk dat het de taak van de school is om juist die dingen te vertellen die ver af staan van het dagelijks leven.
• Waarom begint Doekle Terpstra niet een protestbeweging tegen het huidige (reken-)onderwijs, in plaats van zich druk te maken over Wilders? Hij is toch voorzitter van de HBO-raad? Dan weet hij toch ook dat de NLO’s leraren afleveren die nauwelijks iets van het vak weten waarin ze zogenaamd zijn afgestudeerd?
• Het lijkt er op dat docenten vooral geïnteresseerd zijn in antwoorden. Het interesseert hun niet wat de weg is daar naartoe.
• De walging over alles wat er de afgelopen jaren op onderwijsgebied heeft plaats gevonden is zo groot, dat ik er een boek over vol zou kunnen schrijven, maar daar is het hier niet de plaats voor.

Henry Martyn Mulder (Contactpersoon wiskunde Erasmus Universiteit)

• De wiskundige kennis kan beschouwd worden als een bouwwerk waarbij elke volgende fase voortbouwt op wat er in de vorige fase is gebeurd. Wil dit bouwwerk stevig genoeg zijn dan moeten fundament en onderste verdiepingen sterk genoeg zijn om de hogere verdiepingen van geavanceerde kennis te dragen. De kennis waar de huidige leerling bij de universiteit mee aankomt is drijfzand. De vele buitenlandse studenten aan de Erasmus Universiteit zijn veel en veel beter voorbereid.
• De inhoudelijk wiskundige kennis is ondergeschikt gemaakt aan de didactiek/onderwijskunde. Het moet natuurlijk andersom zijn: primair staat de kennis voorop en de didactiek is een hulpmiddel om die kennis te onderwijzen.
• De opzet van het Studiehuis is gestuurd vanuit didactische principes en houdt daardoor veel te weinig rekening met de vakinhoudelijke aspecten. Deze laatste moeten ALTIJD voorop staan. Zeker voor de wiskunde is de Studiehuisopzet ongeschikt.
• Het is te gek voor woorden dat het wiskundeonderwijs op het VWO in belangrijke mate gestructureerd wordt rond een hulpmiddel [de grafische rekenmachine] dat buiten het VWO nergens gebruikt wordt.
• Vrijwel alle opgaven zijn nu zogenaamde “realistische” opgaven met een zogenaamd probleem vanuit de dagelijkse werkelijkheid. Daar wordt veel tijd mee verspild en er blijft vrijwel geen tijd over om wiskundige methoden en technieken grondig te oefenen. De gekozen benadering appelleert ook niet aan het abstractievermogen dat moet worden ontwikkeld.

• De realistische reken-wiskundedidactiek is feitelijk niets nieuws, het is te vergelijken met de Babylonische wiskunde van 4000 jaar geleden. In de tussentijd zijn er echter betere dingen bedacht in de wiskunde. Daar zou het reken-wiskundeonderwijs meer profijt van moeten proberen te trekken.
• Het niveau van de Babyloniërs is blijkbaar goed genoeg voor de Nederlander van nu.
• Er wordt betoogd dat er ingezet moet worden op inzicht en niet op kunnen. Blijkbaar kun je inzicht in iets hebben zonder het te kunnen. Dit lijkt mij bijzonder twijfelachtig: inzicht en kunnen gaan hand in hand, standaardprocedures helpen bij het kunnen en dus ook bij het inzicht. Zeker voor zwakkere leerlingen bieden standaardprocedures een belangrijke houvast.

Harm Jan Smid (Docent Didactiek aan de TU Delft)

[Overvloed en onbehagen]

• Een aanpak vanuit realistisch wiskundeonderwijs leidt snel tot een wat de feitelijke wiskundige inhoud betreft wat mager programma. De verpakking neemt veelal een groot deel van de tijd in beslag. Het lijkt mij verder dat de gekozen opzet gemakkelijk leidt tot een vorm van onderwijs dat vooral bestaat uit grote aantallen losstaande problemen en probleempjes. Een samenhangend geheel aan kennis en vaardigheden, waarop later voortgebouwd kan worden, ontstaat op die manier niet.
• Door de realistische inkleding van de stof begeef je je als docent voortdurend op het terrein van andere vakken.
• Zowel de betrouwbaarheid als de algemeenheid, en daarmee samenhangend de toepasbaarheid, van wiskundige resultaten zijn nauw verbonden met de mogelijkheid tot deductieve bewijsvoering en formalisering van de wiskunde. Wie deze elementen systematisch uit het onderwijs weglaat, presenteert naar mijn overtuiging een verminkt beeld van de wiskunde.

Ton Groeneveld ((Lid Redactie WiskundE-brief))

• De TI grafi­sche rekenma­chine wordt door veel scholen ver­plicht gesteld. Leerlin­gen hebben geen keuze en daar waar geen keuze is, kan de prijs hoog gehou­den worden. Met een prijs­stel­ling van rond de 120 euro betaal je eigen­lijk veel te veel voor een stukje verou­derde tech­niek. Maar ach, zo werkt de markt.
• Al jaren zakken tiental­len leerlin­gen voor hun examen omdat hun grafi­sche rekenma­chine ‘ineens raar doet’.
• Leerlin­gen met een TI 83 of een TI 83 Plus kunnen tijdens het Cen­traal examen behoor­lijk wat nadeel onder­vinden van het feit dat zij geen TI 84 Plus hebben.

Jan van Doorn (Docent wiskunde VO)

[WiskundeEBrief (648)]

• Het toe­staan van een rekenma­chine bij het toetsen van wiskun­dige kennis en vaardig­heden is een histori­sche vergis­sing en zet onze leerlin­gen op een verkeer­de spoor.
• Op het examen moet ge­toetst worden wat een leer­ling aan kennis en vaardig­heden bezit. Het gebruik van de rekenma­chine ont­neemt ons daarbij het zicht op de bekwaam­heid van de leer­ling in het elemen­taire rekenen. Leerlin­gen zetten tegen­woordig bij de eenvou­digste bereke­ningen de rekenma­chine in. Gewoon omdat het kan!
• Hoe is het toch mogelijk dat het Nederlandse wiskundeonderwijs zich voor zo’n lange tijd heeft gecommitteerd aan het gebruik van een volstrekt achterhaald, duur apparaat met een slecht afleesbaar schermpje?
• Is het nu echt nodig te toetsen of leerlin­gen in staat zijn om een uitdruk­king als 3/log(25,345)+5,049 in te toetsen in een reken­program­ma? Denken we werke­lijk dat leerlin­gen niet in staat zijn om een ant­woord af te ronden op drie decima­len nauwkeu­rig? 
• Alle punten die worden gegeven om een uit­komst met de GR uit te rekenen, om een oplos­sing van een verge­lijking te benade­ren of om een ant­woord af te ronden, moeten komen te verval­len. Dat zijn veel punten en alleen dat al zou ons ook aan het denken moeten zetten. In de huidige correc­tievoor­schrif­ten worden trivia­le activi­teiten met wel heel veel punten gehono­reerd.
• Leerlin­gen hebben tegen­woordig tele­foons en tablets waarmee zij toegang hebben tot gratis program­ma’s die eenvou­diger te bedie­nen zijn dan de GR, die veel betere beelden leveren en die ook nog eens exacte antwoor­den kunnen geven. Wij moeten in ons moderne onder­wijs onze leerlin­gen stimule­ren om met deze program­ma’s kennis te maken.
• Schaak­groot­mees­ters mogen op een toer­nooi natuur­lijk geen gebruik maken van een compu­ter. Dat belet hen echter niet om bij de voorbe­reiding van een toer­nooi uren achter de compu­ter te zitten. Daar worden ze beter van en dat weten ze maar al te goed. Ik zou daarom in analo­gie met het schaken willen pleiten voor ICT in de les en geen ICT op het Centraal Examen.

Raymond Boute (Emeritus professor ‘mechanical engineering’ aan de Universiteit Gent)

Docenten in het Belgisch hoger onderwijs zien de kwaliteit van de instroom zienderogen dalen. Ook de Vlaamse Vereniging voor Wiskundeleraars geeft Boute gelijk

[Lessen wiskunde ondermaats]

• De wiskundelessen die honderdduizenden kinderen vanaf vandaag weer krijgen, voldoen niet. De oorzaak van de achteruitgang ligt bij de wiskundeboeken, die pedagogisch onverantwoord zijn. Formules worden niet meer uit het hoofd geleerd, bewijzen zijn nog slechts sporadisch aanwezig. Het huidige wiskundeonderwijs moet vooral realistisch zijn, maar dat werkt niet, zo blijkt nu. De wiskundeboeken die leraren nu gebruiken zijn bedrieglijk. Wiskunde stoelt op precisie en dat is in deze boeken niet terug te vinden. De auteurs gaan slordig om met begrippen. Dat is pedagogisch onverantwoord. Middelbare schoolleerlingen raken niet gepassioneerd door wiskunde, omdat de boeken chaotisch en onduidelijk zijn.
• Ik zie duidelijk dat we op de universiteit jongeren tegenwoordig middelbare schoolkennis moeten leren. Ik legde de laatste jaren soms vragen aan de huidige studenten voor die ik destijds na het zesde middelbaar in een toelatingsexamen moest beantwoorden. Bijna niemand kon ze oplossen. De fouten die zij maken, zijn verontrustend.

____________________________________________________________

Middelbaar Beroepsonderwijs

Hans Woutersen (MBO-docent wiskunde)

• Met verbazing las ik het artikel over het imageprobleem in het mbo. Het probleem is natuurlijk niet het slechte imago, maar het slechte onderwijs.
• Ik ben een totaal afgebrande docent wiskunde die drie jaar geleden, na een carrière van 27 jaar, het mbo-onderwijs heeft verlaten. Nadat in 2002 het competentieonderwijs in de ICT-sector was ingevoerd, heb ik vijf jaar tevergeefs gestreden voor het aanbrengen van een gedegen theoretische ondergrond.
• De eerste stap bij de invoering van het competentieonderwijs was het schrappen van alle theorielessen. Leerlingen moesten hun competenties verwerven door het uitvoeren van projecten. Omdat er geen theorielessen meer werden gegeven, is daarna besloten alle toetsen af te schaffen. U leest dit goed, tijdens de hele twee-, drie of vierjarige ICT-opleiding mochten er geen toetsen, repetities of schriftelijke overhoringen worden gegeven. Alle beoordelingen werden middels (groeps-) projectbesprekingen gedaan.
• Overigens is mijn docentenbaan overgenomen door een heel aardige man – die louter een havo-opleiding heeft genoten.

Diederick de Vries (MBO-docent ict en rekenen op het Drenthe College)

de Vries was in 2015 leraar van het jaar

• Nadat er een vacature voor rekenlessen kwam, greep ik mijn kans en volgde een gedegen omscholingscursus.
• Er ging een wereld voor mij open. Met verbazing nam ik kennis van de rekenboekjes (ik zou het geen methodes durven noemen) van het primair onderwijs. De één nog bonter en kleurrijker dan de ander. Prachtige plaatjes en fantasierijke schema’s maar bar weinig structuur en herhaling.
• Ook van het ‘schattend rekenen’ had ik nooit gehoord evenals de ‘haakdeling’.  Gedrochten zijn het.
• Met het ‘Basisboek Rekenen’ van Jan van de Craats en Rob Bosch ging ik aan de slag. Degelijk en volgens het ‘Keep It Simple’- principe waar ik altijd voor sta.
• De slechte scores voor de rekentoets die je in het VO en het MBO ziet, zijn niet het resultaat van slecht rekenonderwijs maar het resultaat van een verkeerde meting. Het examen meet voor een groot deel geen rekenkundigheid, maar begrijpend lezen.
• Laat de rekenexamens over rekenen gaan en de talentoetsen over taal.

__________________________________________________________

Hoger Beroepsonderwijs

Hans Fischer (Docent Hogeschool van Windesheim en TU Delft. Hij geeft les in o.a. Calculus en Fourier-Analyse)

[Conferentie Voortbestaan van wiskunde in het HBO]

Op de Conferentie ‘Voortbestaan van Wiskunde in het HBO’ te Utrecht in 2008:

• Het is duidelijk dat het vak wiskunde in het HBO fors onder druk is komen te staan door de opkomst van het competentiegericht leren.
• De onderwijskundige van een afdeling hbo-techniek wil dat de onderwerpen differentiëren en integreren uit het curriculum worden verwijderd. Hij had navraag gedaan en had gehoord dat ingenieurs in hun beroep nooit meer differentiëren of integreren, dus weg ermee.
• Een opleidingsmanager hbo-elektrotechniek legt in een bijeenkomst met het bestuur uit waarom hij het onderdeel Laplace-tranformaties uit het studieprogramma heeft gehaald. Deze manager heeft zelf geen techniek gestudeerd en zijn redenering komt hierop neer: ‘Ik had zelf nog nooit van Laplace gehoord, ik ben succesvol en gelukkig zonder Laplace dus onze elektrostudenten kunnen ook heel goed zonder Laplace’. Het krankzinnige van het krankzinnige van het verhaal is dat niemand van de aanwezigen er iets van zei. Niemand had ooit van Laplace gehoord, niemand wilde weten waar Laplace goed voor was dus, hup, weg ermee.
• ‘Ingenieurs zullen in hun beroep nooit meer handmatig differentiëren of integreren, dan hoeven ze het ook niet te leren’. Als we het competentiegerichte leren zo bekrompen invullen, waarbij je dus niets meer hoeft te begrijpen – je hoeft alleen maar het kunstje te vertonen, dan komt het hbo in grote problemen. Oók in het hbo is begrip en inzicht belangrijk. Wiskunde is de taal waarin je de techniek tot je neemt,  het is de taal waarin je het probleem kunt bevatten. Ik pleit daarom voor degelijk wiskundeonderwijs in het hbo.
• Kees Hoogland schreef in 2004 een stuk met de titel ‘Houd toch op met dat gezeur over die algebraïsche vaardigheden’. Ook Hoogland kiest het standpunt van iemand die van buitenaf kijkt naar het wiskundeonderwijs. Volgens Hoogland gaat het NIET om de vraag: ‘Welke algebra moeten wij onderwijzen in het wiskundeprogramma?’ De vraag zou moeten zijn: ‘Welke rol kan het wiskundeonderwijs spelen in het zich snel ontwikkelende onderwijs op zich snel ontwikkelende scholen, en wat moet algebra daarbij?’
• Bij Hoogland vraagt een klant in gereedschappenwinkel om een boor. De verkoper in de winkel pakt breed uit over de meest prachtige boren die hij nu weer heeft: laatste model, soepel lopend, diamanten punt, nieuwste snufje uit Amerika. Maar, zegt Hoogland, de meeste klanten willen helemaal geen boor, die willen alleen maar een gat! Die geavanceerde boor staat voor de moeilijke wiskunde. Maar waarvoor staat het simpele gat? Klopt de metafoor eigenlijk wel? De metafoor van de boor en het gat is te simplistisch om de betekenis van wiskunde in het hbo te begrijpen.
• Wiskunde is het struikelblok voor de studenten die uit de boot vallen. Voor techniek is dat ongeveer de helft van alle starters. Hoogland verontwaardigd: ‘Ze willen heel graag techniek doen, maar haken af op de wiskunde. Dat zal toch niet waar zijn, dat opvattingen van wiskundedocenten het studeren belemmeren in plaats van helpen’!  Maar de visie van de onderwijsmanager die Laplace wil schrappen uit het curriculum elektrotechniek heeft dramatische gevolgen. In het derde jaar van de studie elektrotechniek komen digitale filters aan bod (dat is bijvoorbeeld de elektronica in uw CD-speler). Deze technologie is absoluut niet meer te bevatten zonder de integraaltransformaties. De binnenkant van een CD-speler is wiskunde ingebakken in elektronica. Deze technologie is uitsluitend nog te benaderen via de wiskunde: Fourier, convoluties, differentievergelijkingen, polen en nulpunten. Prachtige wiskunde, maar ook moeilijke wiskunde, wiskunde die een stevige ondergrond vraagt. Goede algebraïsche vaardigheden.
• Ik blijf nog even bij het hoger technisch onderwijs. Als het gaat om eenvoudige formules als de wet van Ohm U=IR of de wet van Newton F=ma, dan moet bij de studenten toch echt de grafische rekenmachine eraan te pas komen om de stroomsterkte of de versnelling uit de vergelijking op te lossen. Je kunt je voorstellen dat als het bewerken van een eenvoudige eerstegraads vergelijking al te moeilijk is, dat we de differentievergelijkingen in het inwendige van de CD-speler wel kunnen vergeten.
• In de techniek zijn de algebraïsche vaardigheden van de ingenieur het medium om te innoveren. Een voorbeeld. Bij het ontwerpen van een brug moeten sterkteberekeningen worden gemaakt. Bij een bepaald bekend brugontwerp zou je de vaststaande formules kunnen gebruiken die je oplost met behulp van de grafische rekenmachine. Je doet dit zonder de formules te begrijpen of de modellen te kennen waaruit ze voortkomen. Maar met deze aanpak zit je voorgoed vast aan precies dat ene ontwerp van de brug. Voor een andere brug moet je wiskundig kunnen modelleren, je moet de abstractieslag maken om de nieuwe sterkteformules te ontwikkelen.
• ‘Ingenieurs zullen in hun beroep nooit meer handmatig differentiëren of integreren, dan hoeven ze het ook niet te leren”. Als we het competentiegerichte leren zo bekrompen invullen, waarbij je dus niets meer hoeft te begrijpen – je hoeft alleen maar het kunstje te vertonen, dan komt het hbo in grote problemen. Oók in het hbo is begrip en inzicht belangrijk. Wiskunde is de taal waarin je de techniek tot je neemt,  het is de taal waarin je het probleem kunt bevatten. Ik pleit daarom voor degelijk wiskundeonderwijs in het hbo.
• ‘Wat heb ik nou aan algebra’?  We zullen de buitenwacht moeten duidelijk maken dat wiskunde er echt toe doet. Dat wiskunde te maken heeft met de veiligheid in het vliegtuig en in de operatiekamer. En dat wiskunde alles te maken heeft met onze welvaart. En wat is daar voor nodig? Veel oefenen met sommetjes. En ook een beetje wiskunde-om-de-wiskunde. Dat is bepaald geen gemakkelijke boodschap in een omgeving van competentiegericht leren waar alles wordt beoordeeld in het licht van de onmiddellijke toepasbaarheid.

Rob Bosch (Hoofddocent aan de KMA te Breda)

• Ik merk regelmatig dat studenten afhaken bij de colleges complexe getallen, integratietechnieken en Laplace-transformaties, omdat ze door een gebrek aan algebraïsche vaardigheden afleidingen niet kunnen volgen en opgaven niet kunnen maken. Collega’s  merken dat studenten geen vervangingsweerstanden (impedanties) meer kunnen bepalen en grote moeite hebben met het berekenen van traagheidsmomenten.
• Enige tijd geleden heb ik daarom een oefenprogramma basisvaardigheden opgezet. We laten hierbij zien dat de basisregels ook voor rekenen van toepassing zijn. Dat laatste is voor veel studenten een openbaring.

Jaap Gras­meijer (Docent wiskun­de Hoge­school Inhol­land; Docent wiskun­de D cluster Alkmaar)

[Wiskunde E brief (653)]

• Op het hbo werk ik veel samen met mensen die volop actief zijn in het be­drijfs­leven. Een aantal van de mensen doceert ook wiskun­de. Zonder uitzon­dering zeggen deze collega’s: ”Wacht met de grafi­sche rekenma­chine! Ze moeten eerst leren naden­ken en leren rekenen”.
• Het leren werken met specia­listi­sche reken­program­ma’s volgt later in de studie en verder­op in de beroeps­prak­tijk wel. Bij het inzet­ten van die hulpmid­delen is kriti­sche blik dan gewenst. “Wat zijn de aanna­mes bij gebruik van een compu­terpro­gramma? Kunnen de getal­len die de compu­ter uit­spuugt wel kloppen?” Vooral die kriti­sche blik moet binnen het onder­wijs worden ontwik­keld. De (grafi­sche) rekenma­chine kan een prima hulpmid­del zijn om een kriti­sche geest te ontwik­kelen. Maar gebruik dat ding niet altijd en overal. Laat ²log(8) alsje­blieft gelijk zijn aan 3 en niet aan log(8) / log(2).

Karin den Heijer (wiskundedocent op het Erasmiaans Gymnasium en de Hogeschool Rotterdam)

• Mijn instromende mbo-studenten bij informatica aan de hogeschool hebben nooit geleerd te rekenen met letters. Het is voor hen vrijwel onmogelijk om de wiskundevakken bij te benen.

__________________________________________________________________

Wetenschappelijk Onderwijs

Anton Stoorvogel (Opleidingsdirecteur technische wiskunde aan de TU-Twente)

*Tweederde delen door vier? De student wist het niet. (2024)*

• We worstelen ook op de UT al een aantal jaren met het rekenniveau van eerstejaarsstudenten. Niet alleen bij technische wiskunde, maar ook bij andere opleidingen zoals werktuigbouwkunde, civiele techniek en technische geneeskunde speelt dit probleem. Bij veel eerstejaars ontbreekt een solide basis vanuit de middelbare school.
• Onlangs bleek tijdens een werkcollege dat een student niet wist hoe hij tweederde door vier moest delen. Hij had geen black-out en maakte geen vergissing, maar hij wist intrinsiek niet hoe hij dat moest doen. Dat voorbeeld is niet uniek, veel studenten missen de basis om goed met breuken of formules om te gaan.
• Het curriculum zit al bomvol. Een bachelor duurt drie jaar, waarvan het laatste jaar minor en afstuderen is. Alle stof die we aanbieden moet je als student in twee jaar leren, dan is er eigenlijk geen ruimte om iemand eerst bij te spijkeren in basisstof.

________________________________________________

Ben Wilbrink (Onderwijsresearcher. Wilbrink was werkzaam bij het SCO-Kohnstamm Instituut)

[Rekenproject]

Bovenstaande link geeft toegang tot een uitgebreide analyse van beweringen, gemaakt door reken-experts in de afgelopen decennia, met ook veel aandacht voor de psychologische deugdelijkheid. Ook veel literatuurverwijzingen.

• Jan van de Craats wijst op de misstand van lukraakmethoden bij het onderwijs in optellen tot en met delen bij sommige/veel rekenmethoden. Een daarmee verwante misstand is die van de redactiesommen die met allerlei van het type redactiesom afhankelijke tructjes moeten worden opgelost, in plaats van langs de koninklijke algebraïsche weg. Alsof we nog in Babylon leven, en de algebra nog niet is uitgevonden.
• ‘Handig rekenen’ is een van de kroonjuwelen van het realistisch rekenen.  De invloed van de Freudenthal-groep is zelfs zo groot, dat in de kerndoelen voor het basisonderwijs het ‘gewone’ rekenen is vervangen door ‘handig’ rekenen. De dramatiek is dat alles in de leerpsychologie erop wijst dat handig kunnen rekenen een gevolg is van goed kunnen rekenen.  Het is een mega-blunder van de Freudenthal-groep om in de rekendidactiek tijd te verspillen aan het onderwijzen van handig rekenen aan leerlingen die nog niet eens goed kunnen rekenen.
• Handig rekenen staat tegenover rekenen met een goed beheerst standaard-algoritme. Het belangrijkste verschil is uiteraard dat het standaard-algoritme altijd de oplossing levert, terwijl handig rekenen alleen mogelijk is met bepaalde getallen, en zelden met de willekeurige getallen waarmee rekenopgaven in de wereld-van-alledag vaak komen. De Freudenthal-groep heeft daar een standaard-antwoord op: opgaven die niet handig zijn uit te rekenen, doe je toch op de rekenmachine!
• Het zien van ‘handige’ uitwerkingen is een bijgift van de geautomatiseerde beheersing van het standaard-algoritme.
• Een specifieke drogreden in het arsenaal van argumenten van de Freudenthal-groep tegen gewoon rekenonderwijs: standaardalgoritmen leren zou neerkomen op het leren van trucjes. Het grappige is natuurlijk dat juist het realistisch rekenen zoals dat in de klassen plaatsvindt, kinderen brengt tot het massaal leren van trucjes die ‘handig’ zijn in specifieke situaties.
• Empirisch onderzoek is een bezigheid waar Hans Freudenthal weinig affiniteit mee heeft.
• Maar daar staat toch tegenover dat het Freudenthal Instituut, met veertig jaar onderzoek in portefeuille, de deugdelijkheid van dat realistisch rekenen heeft onderbouwd? Helaas. Het FI heeft dat onderzoek niet gedaan, en is niet van plan het ooit te doen. Er is een enkele uitzondering, zoals het MORE-onderzoek, dat op het onderzochte ‘handig rekenen’ liet zien dat traditioneel geschoolde leerlingen daar beter op presteerden dan de in ‘handig rekenen’ geschoolde leerlingen die een realistische rekenmethode volgden.
• In 2006 is het realistisch rekenen in de kerndoelen van het rekenonderwijs geschreven, waarmee het realistisch rekenen tot staatsrekendidactiek is verheven.
• Ook het realistisch rekenen is een in de tijd veranderende opvatting. Dat algoritmen er bijkans uit zijn weggeschreven, was bepaald niet de bedoeling in de zeventiger jaren. Ook het verwaarlozen van het automatiseren van rekenvaardigheden is iets dat pas in de tachtiger jaren doorzette. De laatste jaren zien we de protagonisten (Kool, Van den Heuvel-Panhuizen) beweren dat automatiseren wel degelijk van groot belang is, enzovoort. Overigens geen excuus aan de Nederlandse jongeren, dat zij bij vergissing inferieur rekenonderwijs hebben genoten.
• Wie enig idee heeft van de ontwikkelingen in de wiskunde kan niet serieus de gedachte koesteren dat er door leerlingen op zinvolle wijze iets valt te ontdekken, anders dan stevig begeleid.
• ‘Probleemoplossen’ kan alleen maar een competentie zijn wanneer het op degelijke vakkennis berust. Leer een vak, dan komt het probleemoplossen vanzelf. Het omgekeerde is niet waar, helaas voor de vele Nieuwe Denkers in onderwijsland. ‘Probleemoplossen’ kan een verworvenheid zijn, in de zin zoals schaakgrootmeesters en eigenlijk iedere professionele beroepsbeoefenaar op het eigen terrein uitstekende probleemoplossers zijn.
• Dat leraren contexten gebruiken om leerlingen te motiveren voor wiskunde betekent niet dat een examen dan ook met contexten moet werken. Integendeel: als contexten in het wiskundeonderwijs hun motiverende werk hebben gedaan, moet de afsluitende toets juist zonder dergelijke contexten zijn.
• Wetenschappelijk onderzoek heeft overtuigend aangetoond dat het paraat hebben van een basis aanwendbare kennis van groot belang is voor het kunnen oplossen van complexe problemen. Tijdens het oplossen moet de probleemoplosser snel toegang hebben tot die basiskennis, zodat de beperkte ruimte van het werkgeheugen kan worden benut om de mentale voorstelling van de probleemsituatie te ontwikkelen en te monitoren. Leerlingen of studenten die tijdens het oplossingsproces nog eenvoudige kennis of technieken moeten reconstrueren, leiden vaak aan een overbelast werkgeheugen en raken het spoor naar de oplossing kwijt.

Jan de Lange (Hoogleraar-directeur van het Freudenthal Instituut)

• Ik denk dat wij met onze realistische methodes, de mythe van de wiskunde iets te hard hebben opgeblazen. Als wiskunde zo alledaags wordt, valt er veel weg van de fascinatie van het abstracte die er natuurlijk ook vanuit kan gaan.
• Het huidige onderwijs is volledig in de ban geraakt van het comfort-denken. Kinderen moeten het toch op school vooral prettig vinden, het naar hun zin hebben. En dus wordt het ze niet al te lastig gemaakt. Er is een gebrek aan diepgang die we normaal zijn gaan vinden.
• Het wegintegreren van wiskunde in het vmbo is een aanslag op het eigene dat wiskunde biedt en geeft de leerling minder kans belangrijke kwaliteiten te ontwikkelen. Het adagium ‘plaats de leerling centraal’ bereikt op deze manier het tegengestelde van het beoogde.

________________________________________________

De VS

Stephen Wilson (Hoogleraar wiskunde aan de John Hopkins University. Medewerkers aan de School of Education, K12 Mathematics education)

• The standard algoritms are the only collection of beautiful, serious, mathematical theorems you can teach to a child in K-6 [basisschool]. They are amazingly powerful. They take the ad hoc out of arithmetic. They extend observed patterns and give the operations structure. These theorems solve the age-old problem of how to do basic computations without having to use different strategies for different numbers. The mystery is gone.
• Students will be confronted with new algorithms constantly as they progress in their study of mathematics. Ignoring the most basic and most important of all algorithms is not good preparation.
• In high school and college mathematics, these very same algorithms will be slightly modified and generalized and used in different settings. This happens many times over and a mastery of the original algorithms makes this progress an incremental one rather than an overwhelming one.
• Using a calculator is akin to relying on a crutch when one doesn’t have a bad leg.
• I have not yet encountered a mathematics concept that required technology to either teach it or assess it. The concepts and skills we teach are so fundamental that technology is not needed to either elucidate them or enhance them. There might be teachers who can figure out a way to enhance learning with the use of technology, but it’s absolutely unnecessary.
• Downplaying the development of pencil and paper number sense might work for future shoppers, but doesn’t work for students headed for Science, Technology, Engineering, and Mathematics fields.
• Some seem to believe it is easier to teach “high-level critical thinking” than it is to teach the standard algorithms with understanding. The standard algorithms for adding, subtracting, multiplying, and dividing whole numbers are the only rich, powerful, beautiful theorems you can teach elementary school kids, and to deny kids these theorems is to leave kids unprepared. Avoiding hard mathematics with young students does not prepare them for hard mathematics when they are older.
• There will always be people who believe that you do not understand mathematics if you cannot write a coherent essay about how you solved a problem, thus driving future STEM students away from mathematics at an early age. The ability to communicate is NOT essential to understanding mathematics.
• There will always be people who think that you must be able to solve problems in multiple ways. This is probably similar to thinking that it is important to teach creativity in mathematics in elementary school, as if such a thing were possible. Forget creativity; the truly rare student is the one who can solve straightforward problems in a straightforward way.
• There will always be people who think that statistics and probability are more important than arithmetic and algebra, despite the fact that you can’t do statistics and probability without arithmetic and algebra.
• There will always be people who think that teaching kids to “think like a mathematician” can be done independently of content.

Hung Hsi Wu (Hoogleraar wiskunde aan de Berkeley Universiteit)

Wu is schrijver van boeken over differentiaalmeetkunde, algemene relativiteitstheorie en wiskunde-onderwijs (o.a. ‘Teaching School Mathematics’)

[Basic Skills Versus Conceptual Understanding]

• ‘Facts vs. higher order thinking’ is an example of a false choice that we often encounter these days, as if thinking of any sort—high or low—could exist outside of content knowledge. In mathematics education, this debate takes the form of ‘basic skills or conceptual understanding.’ This bogus dichotomy would seem to arise from a common misconception of mathematics held by a segment of the public and the education community: that the demand for precision and fluency in the execution of basic skills in school mathematics runs counter to the acquisition of conceptual understanding.
• There is not ‘conceptual understanding’ and ‘problem-solving skill’ on the one hand and ‘basic skills’ on the other. Nor can one acquire the former without the latter. Skills and understanding are completely intertwined. In most cases, the precision and fluency in the execution of the skills are the requisite vehicles to convey the conceptual understanding.
• Sometimes a simple skill is absolutely indispensable for the understanding of more sophisticated processes. For example, the familiar long division of one number by another provides the key ingredient to understanding why fractions are repeating decimals. Or, the fact that the arithmetic of ordinary fractions (adding, multiplying, reducing to lowest terms, etc.) develops the necessary pattern for understanding rational algebraic expressions.
• At other times, it is the fluency in executing a basic skill that is essential for further progress in the course of one’s mathematics education. The automaticity in putting a skill to use frees up mental energy to focus on the more rigorous demands of a complicated problem. Finally, when a skill is bypassed in favor of a conceptual approach, the resulting conceptual understanding often is too superficial. This happens with almost all current attempts at facilitating the teaching of fractions.
• There is no royal road to conceptual understanding. Let us teach our children mathematics the honest way by teaching both skills and understanding.

Robert Siegler (Professor of Psychology at Columbia University, Teachers College)

*Fractions: Where It All Goes Wrong*

• Many children never master fractions.
• Fifth graders’ fraction knowledge predicts high school students’ algebra learning and overall math achievement.
• This weak knowledge of fractions is especially unfortunate because fractions are foundational to many more advanced areas of mathematics and science.
• On the reference sheets for recent high school AP tests in chemistry and physics, fractions were part of more than half of the formulas.
• In a recent survey of 2300 workers, more than two-thirds indicated that they used fractions in their work.

Jennifer Kaminski, Vladimir Sloutsky, Andrew Heckler (Center of Cognitive Science University of Ohio State)

[Transfer of mathematical knowledge]

• Transfer is more likely to occur if mathematical symbols are stressed over concrete materials.
• There is a widespread belief in the education community that concrete instantiations benefit the learning of abstract concepts.
• Concrete instantiations communicate more extraneous information than do their abstract counterparts, and as a result, they may interfere with learning and/ or transfer.
• Mathematical concepts, however, have precise definitions based on their relational structure, and superficial similarity of instances is irrelevant.
• Superficial features of an instantiation may also compete with relational structure for attention, possibly making the detection of relations more difficult than it would be in an abstract, generic format.
• Also relational structure common to two situations is less likely to be noticed when the situations are represented in a concrete, perceptually rich manner than when represented in a more generic form.
• Concrete objects make poor symbols: Both children and adults tend to reason about them as objects themselves, not as signs denoting other entities.

__________________________________________________

Ziekenhuis

Robert Simons (Verpleegkundig Bestuurder van het Emma Kinderziekenhuis, AMC Amsterdam)

[Testimonials]

• Uit onze analyses over de afgelopen jaren is gebleken dat meer dan 50 % van de vergissingen die gemeld worden in de patientenzorg te maken hebben met rekenfouten, of beter, met medicatiefouten: het is vooral de bereiding van medicatie die een heel zwakke plek in ons patient-veiligheidsysteem inhield. Veel bereidingsfouten zijn toe te schrijven aan een tekort aan vaardigheden in het rekenen.
• Medicatie is tegenwoordig zo krachtig en effectief, als je daar fouten in maakt heeft het ook direct consequenties, en dat geldt zeker voor kinderen waar je met kleine concentraties werkt. Als je daar de komma fout zet of de vermenigvuldingingsfactor fout dan heb je meteen een ernstig probleem voor de patient.
• Beginnende verpleegkundigen en artsen missen te vaak een basisbegrip van getallen. Ik maak mee dat mensen echt denken dat twaalf gedeeld door 2 gelijk is aan 24.
• Je ziet duidelijk dat de oudere generatie verpleegkundigen meer basale kennis heeft van verhoudingen, breuken, vermenigvuldigingen.

Zie ook *Kritiek op de vernieuwingen (1): citaten*

en *Kritiek op de vernieuwingen (3): Het Freudenthal Instituut*