Het Rekentheater nog een keertje bezocht

In Wilbrinks inmiddels gesloten blog: Diagnose rekenproblematiek bo
wordt Treffers’ boek Het Rekentheater (Atlas, 2010) genoemd en op Wilbrinks eigen site van
AANTEKENINGEN voorzien. Wilbrink gaat ook in andere rekenblogs op Het Rekentheater in.

Wat mij in Treffers’ boek (op dit moment in de Boekenfestijn-ramsj verkrijgbaar voor € 12) negatief verraste was de exclusieve preoccupatie met het soort raadsels en breinbrekers waarmee men zich tijdens lange winteravonden in het pre-TV-tijdperk vermaakte. Dat was me al opgevallen toen ik rond 1970 als student een half jaar op het IOWO (nu Freudenthal Instituut) rondliep. Leuke dingen voor de mensen, die denkspelletjes, maar toch echt wat anders dan serieuze didactiek en wetenschap, dacht ik toen en denk ik weer. Afgaand op dit boek van Treffers is er sinds 1970 niets veranderd, behalve dan dat de speeltjes professoraten hebben opgeleverd en het rekenonderwijs is vernieuwd.

Waarom terugkomen op dit werkje? Niet omdat het zoveel potsierlijke uitglijders bevat: Dire Straits is “Londonse platpraat voor dirty streets” bijv. Ook omdat uit dit boek een Madurodams mens-, wereld- en rekenbeeld opstijgt, ging ik er liever aan voorbij. Tot wetenschap reikt Treffers niet en met het realistische rekenbeeld rekent Wilbrink beleefd & afdoend af.
Nee, de reden dat ik er nog eens over begin is dat mij al lezende duidelijk werd dat deze hoogleraar in de realistische didactiek niet kan uitleggen. Is dat vreemd? Nee, dat is dodelijk.

Ik neem als voorbeeld het Monty Hall dilemma , maar had ook andere opgaven kunnen nemen.
Suppose you’re on a game show, and you’re given the choice of three doors. Behind one door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say number 1, and the host, who knows what’s behind the doors, opens another door, say number 3, which has a goat. He says to you, “Do you want to pick door number 2?” Is it to your advantage to switch your choice of doors?
Het aardige van dit probleem is dat argumenten bij het goede antwoord (ja, wisselen) kennelijk een kleine aantrekkingskracht bezitten, en de argumenten bij het foute antwoord “nee” een grote. Het is erg moeilijk de nee-kiezers van hun ongelijk te overtuigen. Het MH dilemma is een prima instinker.

Bezien we de twee mogelijke oplossingen, meer zijn er niet, en enige argumenten.
Nee, niet van deur wisselen, mag wel, maar levert niets extra’s op, want de kans dat de auto achter deur 1 staat is even groot als bij elke andere deur, nl. eerst een op drie, na het openen van deur 3 een op twee; net zo groot als de kans bij deur 2. Veranderen van deur levert dus geen grotere kans op.
Ja, wel wisselen. Deur 1 heeft een kans van een op drie op de auto, de andere twee tezamen dus altijd een kans van twee op drie. Na het openen/uitschakelen van deur 3 door de spelleider biedt deur twee deze kans.

Er is over dit driedeurenprobleem sinds 1959 ongelofelijk veel afgepraat en geschreven, zie: DDProbleem Leuk spul voor liefhebbers van het genre en wie is dat niet op z’n tijd? Het probleem stamt overigens al uit de negentiende eeuw.

Treffers probeert nu uit te leggen dat ja -wisselen van deur het goede antwoord is. Hij doet dat niet zelf maar laat twee journalisten aan het woord. Van den Berg en M. vos Savant (p. 191 e.v.). Vervolgens meldt hij dat deze uitleg kennelijk niet overtuigt en komt hij zelf met een betere (p.193). Die gaat als volgt.
Je neemt drie speelkaarten, bijv. drie azen en een ervan, schoppenaas is de auto. Je laat iemand, analoog aan het driedeurenprobleem, vijftig keer raden naar de schoppenaas (Treffers adviseert 20 maar dat is te weinig) volgens de optie nee -niet wisselen. Dan kun je daarna het aantal keren dat de keuze op de schoppenaas/auto viel vergelijken met wanneer optie ja -wel wisselen zou zijn gevolgd.
Dan blijkt dat ja -wisselen twee maal zo vaak de auto oplevert.

Het is verbazend dat Treffers niet in de gaten heeft dat hij hiermee niets heeft uitgelegd. Een simulatie kan dat ook niet. Wel maakt hij zich omstandig kwaad over enige lieden die vasthouden aan hun verkeerde antwoord, onder wie een gerenommeerde hoogleraar psychologie, “zo’n deskundige die schrijft wat vrijwel iedereen denkt.” Maar die lieden proberen tenminste nog een verklaring te geven. De drie-azen simulatie -ongetwijfeld heeft hij die niet zelf bedacht- omschrijft hij als volgt: “ik liet fundamentele ervaringen opdoen met kansen en bood hulp bij het laten doorbreken van nieuwe inzichten -de vroedvrouwfunctie zoals Socrates die bedoelde” (p.194).
Een wanprestatie van Treffers en bij implicatie eigenlijk ook van het RR waarin uitleg veel belangrijker wordt geacht te zijn dan in het mechanistische rekenen.

We eindigen met een toetje van de vijf onderwijsprincipes van het realistische rekenen. Deze vormen het acroniem: PRINS (p. 109).
Productie -de eigen producties van de kinderen vormen de basis van de leergangen
Reflectie -gelegenheid bieden de eigen werkwijze met die van andere lln. te vergelijken
Interactie -tussen lln onderling en tussen ll en leerkracht
Niveau -verschillende abstractieniveau’s die zich voordoen waarnemen en naar een hoger niveau proberen te brengen
Structuur -samenhang tussen alle berekeningen en redeneringen vormgeven
Helaas, zegt Treffers, het mechanistische onderwijs is niet productief maar directief, daarom is geen van de vijf principes er op van toepassing (p.110). Dat is nou een realistische bewijsvoering.

Raadseltjes en verkeerde goeroe’s (bv. Polya, van wie Wilbrink terecht opmerkt dat hij maar wat goochelt met heuristieken) hebben het rekenonderwijs in Nederland vernieuwd.
Je wordt beroerd en akelig slap van 250 pagina’s met kinderbezoekjes aan pannenkoekenhuizen, jij-bakken, gefröbel met vierkubers, getallenvierkanten, plusrupsen en kuikenboutensommen. Leuk voor de allerkleinsten, zoals Plato al schreef in Laws, VII, 819, met, echt waar, dezelfde voorbeelden (appels en slingers verdelen over grote en kleine groepjes kinderen, en zo).

Leuk aan het Rekentheater is dat veel collega’s van het Freudenthal Instituut voorbij komen. Of ze daar zelf blij mee zijn? Ik denk het niet.

Willem Smit