De aanhalingstekens rond ‘hoofdrekenen’ geven aan dat dit rekenen niet is wat de meeste Nederlanders denken, maar een complex van activiteiten die ‘met’ het hoofd worden gedaan, zoals dat in de realistisch-rekenen-literatuur heet: handig’ rekenen, schattend rekenen, en hoofdrekenen op een kladpapiertje.
De resultaten van de PPON 2010 (rekenen in groep 5, steekproef Nederland) laten geen belangrijke verschillen zien t.o.v. de eerdere peiling in 2003. Enkele significante resultaten stellen qua grootte eigenlijk niets voor. OCW claimt op grond van dit onderzoek dat het rekenonderwijs beter is gaan presteren — want er is minder tijd aan besteed en toch dezelfde resultaten. Uit het rapport (p. 42) is helemaal niet duidelijk of OCW hier een juiste conclusie trekt over tijd besteed aan rekenen. Maar wat nu wanneer beroerd rekenonderwijs in 2003 is vergeleken met beroerd rekenonderwijs in 2020? Het Cito doet daar geen uitspraken over. Laten we die leemte proberen te vullen.
Wat opvalt aan deze PPON, en het speciale onderzoekje gewijd aan het aftrekken onder de 100, is dat er een grote nadruk ligt op hoofdrekenen. Alsof dat het doel van rekenonderwijs zou zijn. Oeps, foutje. Volgens de kerndoelen gaat het ook in groep 8 vooral om hoofdrekenen, in de brede betekenis waar ook ‘handig’ rekenen en schattend rekenen, en op kladpapier rekenen, tot het hoofdreken behoort. In de PPON 2004 voor 12-jarigen is juist dat hoofdrekenen enorm problematisch gebleken (zie in de Cito-rapportage het deelonderzoek door Kees van Putten, op de deelopgaven). En wie dan ziet om welke rekenopgaven het gaat, in de PPON 2004, realiseert zich dat deze PPON eigenlijk helemaal geen basale rekenvaardigheden toetst. Knap verontrustend. Dus is het hoog tijd om de laatste PPON-rapportage als springplank te gebruiken om eens nader te bezien wat er eigenlijk speelt rond dat hoofdrekenen, hoe de huidige situatie is gegroeid, en hoe een en ander op basis van theorie en onderzoek gewaardeerd moet worden.
- Michel Hop (Red.) (2012). Balans van het rekenwiskundeonderwijs halverwege de basisschool 5. Uitkomsten van de vijfde peiling in 2010. PPON-reeks nummer 47. Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau. Uitgave Stichting Cito Instituut voor Toetsontwikkeling. PDF
- Hoofdstuk 5 van dit rapport: Patronen in oplossingsmethoden voor aftrekken (Jean-Marie Kraemer en Michel Hop) is een deelonderzoek met een kleinere steekproef van leerlingen.
Deze PPON 2010 toetst tien domeinen (p. 19), waarvan er zes ‘getallen en getalrelaties’ betreffen:
- Getallen en getalrelaties
- Basisautomatismen: optellen en aftrekken
- Basisautomatismen: vermenigvuldigen en delen
- Bewerkingen: optellen en aftrekken
- Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen
- Bewerkingen: complexere toepassingen
- “Bij de onderwerpen Basisautomatismen werden de opgaven door de toetsleider twee keer voorgelezen en kregen de leerlingen vervolgens vijf seconden antwoordtijd en was het de leerlingen niet toegestaan uitrekenpapier te gebruiken. Bij de overige onderwerpen zijn de opgaven in toetsboekjes aan de leerlingen voorgelegd en konden de leerlingen de ruimte naast de opgaven als uitrekenpapier gebruiken.”
Het Cito-rapport bevat de nodige voorbeelden van de gebruikte opgaven.
Dit ‘hoofdrekenen’ is een tamelijk nieuw fenomeen in het Nederlandse rekenonderwijs. In de zestiger jaren bestond hoofdrekenen alleen in de laagste klassen, en had het als rekenen met getallen onder de 100 een bescheiden functie als voorbereiding op de standaardalgoritmen (ongeveer zoals in Van de Craats en Bosch, 2009, met daarin het echte hoofdrekenen om bijvoorbeeld het passeren van het tiental te leren). Is al die extra aandacht, tot en met groep acht — wat zeg ik, tot en met de rekentoetsen 3F voor de examens in vo en mbo — gerechtvaardigd door onderbouwend empirisch onderzoek? Ik dacht het niet; de KNAW-commissie heeft nauwelijks enig empirisch onderzoek voor het realistisch rekenonderwijs kunnen vinden in de laatste twee decennia.
Een bijkomende ontwikkeling is, dat zal niet verbazen, dat aan het ‘cijferen’ ofwel het rekenen volgens standaardalgoritmen juist heel veel minder aandacht wordt besteed. Het standaardalgoritme voor de staartdeling, bijvoorbeeld, is de afgelopen tien jaar in het basisonderwijs nauwelijks meer behandeld.
Ik zal in een reeks reacties de aansprekende citaten (pro en contra) over dat ‘hoofdrekenen’ uit de literatuur vissen. Andere bijdragen zijn welkom, zoals altijd, en ook van voorstanders van realistische rekenmethoden. In draad 8199 over het Cito-rapport is het proefschrift van Frans van Mulken, over optellen en aftrekken onder 100, al genoemd. Een allesbepalende publicatie is de Proeve door Treffers en De Moor (1990, deel 2 over Basisvaardigheden en cijferen). Een theoretische aftrap werd door Adri Treffers in 1982 gegeven (twee artikeln in Pedagogische Studiën). Wat conventionele methoden betreft: ik noemde al het actuele boek van Van de Craats en Bosch (2009). Uit de tijd voorafgaand aan het realistisch rekenonderwijs: diverse rekendidactieken, zoals Goffree, Hiddink & Dijkshoorn (1970) en Van Gelder (1969).
Van Putten — Treffers
Van Putten (hij spreekt over de analyse van de PPON voor 12-jarigen):
Dat is in elk geval een gedeeltelijke verklaring voor het dalende peil. We kunnen echter ook een stuk niet verklaren met ons onderzoek. Dat is de afname van de accuratesse. Die neemt af, ongeacht of leerlingen een staartdeling gebruiken, een happenschema, of uit het hoofd werken.
Treffers:
Met alle respect:
Maar zolang ik het het basisonderwijs (ook lagere school) ken, was er altijd sprake van een aparte leergang ‘hoofdrekenen’.
De opgaven moesten helemaal uit het hoofd worden uitgerekend (geen papier) en soms inderdaad binnen dicteersnelheid.
‘Hoofdrekenen’ is alszodanig geen nieuw fenomeen binnen het rekenonderwijs. Op de schoolrapporten was er een apart cijfer voor hoofdrekenen.
Zoals veel zaken
Volgens mij is het met hoofdrekenen zoals met veel zaken: het kan niet aangeleerd, alleen maar geoefend worden. Al doende wordt je beter.
Je krijgt er dus geen les in, maar je doet de oefeningen in opklimmende moeilijkheidsgraad en leert van de fouten.
Hoofdrekenen en ‘hoofdrekenen’
Ben wijst erop dat het woord ‘hoofdrekenen’ door de FI’ers een andere betekenis gegeven is. Ik heb het eens als volgt omschreven zien worden: vroeger was hoofdrekenen ‘rekenen uit het hoofd’ (daar doel jij op Moby); tegenwoordig is hoofdrekenen ‘rekenen met het hoofd’. In tegenstelling tot ‘rekenen met je knie’ waarschijnlijk…..
apart cijfer voor hoofdrekenen?
Dat is een interessante suggestie.
Mijn eigen rapporten (begin vijftiger jaren) hebben één cijfer voor rekenen.
Mijn partner (vijftiger jaren): afzonderlijke cijfers voor cijferen en vraagstukken; in de zesde klas, in afwijking van de gedrukte tekst, een regel met cijfers voor hoofdrekenen.
Een kind, eind tachtiger jaren, groep 8: één cijfer voor rekenen. In een eerdere school maakt één lerares gebruik van de beschikbare ruimte om naast het cijferen onderscheid te maken naar hoofdrekenen en rekenen t/m 1000.
Newspeak
is een propagandatechniek waarbij woorden voor ongewenste begrippen systematisch in een andere betekenis gebruikt worden teneinde de oude betekenis niet alleen af te schaffen maar ook het praten daarover onmogelijk te maken. In 1984 was het bewerkstelligen van goodthink het uiteindelijke doel.
Onderwijshervormers blinken uit in Newspeak. Zo ook de FI-ers:
Wat de FI-ers hoofdrekenen noemen is rekenen met pen en papier. De oude betekenis van hoofdrekenen is zo afgeschaft.
Wat de FI-ers kolomrekenen noemen is rekenen van links naar rechts. Het traditionele rekenen zoals de melkboer dat deed is nu niet meer benoembaar. Dat was immers ook kolomrekenen, maar dan van rechts naar links.
Wat Hoogland wiskunde noemt is wiskunde bedreven zonder wiskundige kennis. Onvermogen om een scala aan denkactiviteiten te onderscheiden is iets dat hij wel vaker ziet bij beroepswiskundigen.
Traditionele methoden worden mechanistisch genoemd.
Niet-traditionele methoden worden realistisch genoemd.
Realistisch rekenen moet volgens Gravemeijer worden opgevat als rekenen waarbij je je realiseert wat je doet.
Functioneel rekenen is bij Mieke van Groenestijn en APS de nieuwe naam voor realistisch rekenen.
De term gecijferdheid is ingevoerd en het cijferend rekenen is afgeschaft omdat dat cijferend rekenen de getallen niet in hun waarde laat.
Enzovoort.
parels oogsten
Konden we maar met jouw verhaal een veel groter publiek bereiken, lonesome you! Seger Weehuizen
Feyenoord-Ajax 4-2
4-2=2
2+2=4
of was het 5?
Gelukkig
Komt het goed uit dat het geen 2-4 werd.
Of 0-0
want dan had het net zo goed andersom kunnen zijn.
Goffree, Hiddink& Dijkshoorn: hoofdrekenen 1968
Rekenen en didactiek van Goffree, Hiddink en Dijkshoorn, eind zestiger jaren, bevat onthullende passages over wat in dat dino-tijdperk ‘hoofdrekenen’ heette. Ik kom er nog uitgebreid over te schrijven. Zie een eerdere reactie, met een heuse hoofdrekentest: 7791#comment-63751.
handig rekenen is best handig
Ik heb geen bezwaar tegen handig rekenen. Als ik eerlijk ben, moet ik zeggen dat ik best wel handigheidjes heb geleerd van die RR-methoden. Als we vlot willen kunnen rekenen uit het hoofd, is het bestaan van handigheidjes best handig.
Mijn bezwaar is dat ik ‘cijferen’ en de ‘staartdeling’ OOK beschouw als handig rekenen. Dat de voorstanders van ‘handig rekenen’ dan daar weer een banvloek over hebben uitgesproken, maakt dat ik hen van willekeur verdenk. Hun beginselen blijken allesbehalve consistent.
Zeker als we zien hoe hun ‘nieuwe’ cijferen (we gebruiken steeds het hele getal) toch weer gebruik gaat maken van het cijferend optellen en aftrekken binnen de zogenaamde alternatieven van het kolomsgewijs delen en vermenigvuldigen.
Er werd dus veel traditie weggegooid, maar het nieuwe rammelde aan alle kanten en steunde deels toch op die traditie, zonder die traditie erkentelijk te zijn en zonder voldoende oefening om de jeugdige leerling die traditie te leren.
Die vernieuwers spuwden hun gal over ’trucjes’, maar komen vervolgens doodleuk met nieuwe trucjes: handig rekenen.
Die verwijtende arrogantie richting het verleden, om vervolgens NIKS beters te presenteren dan vooral een gebrek aan ongeveer alles, DAT stoort zo enorm.
En die ergernis is psychologisch nog logisch ook.
kort gezegd:
Handig rekenen werkt vooral als je een traditionele rekenbasis hebt!
Maar als die traditionele basis eerst wordt weggegooid (en dat deden de nieuwlichters (geen tafels geen degelijke oefenstof voor het rekenen onder de 100), wordt ‘handig rekenen’ het zoveelste onbegrepen trucje.
Dit wordt in de dagelijkse praktijk dus ervaren. Leerlingen zonder traditionele basisvaardigehden, leren bij Realistich Rekenen weer nieuwe, maar ONBEGREPEN, trucjes.
Wellicht is deze conclusie zeer logisch: de bedenkers van RR hadden immers WEL basisvaardigheden tot hun beschikking (dankzij de traditie), en waren totaal vergeten hoe zij deze ooit eens stap voor stap hebben moeten aanleren middels dit traditioneel rekenonderwijs.
Zij waren hun vaardigheden zo vanzelfsprekend gaan vinden dat zij dat proces van het stapje voor stapje aanleren, helemaal waren vergeten. Dat is mijn vermoeden als ik de vernieuwers nog van positieve beginselen wil verdenken.
Als ik mijn negatieve gevoelens laat spreken, zie ik vooral moedwillige afbraak omwille van de afbraak van alles wat traditie is en was.
De traditionele burgerlijkheden dienden te worden gebroken.
De hippies wezen de weg, zogenaamd. Of het goed was of niet, dat donderde niet: afbraak moest.
Hoofdrekenen en cijferen bij Goffree, Hiddink, Dijkshoorn
De auteurs geven in 2.A.6 ‘Hoofdrekenen en cijferen’ blijk van de misvatting dat cijferen mechanistisch zou zijn, en hoofdrekenen inzichtelijk. Ook ontbreekt hier het inzicht dat bij het cijferen uiteraard voortdurend hoofdrekenen aan de orde is. Opvallend is de aansporing om àltijd te hoofdrekenen als dat kan; de auteurs realiseren zich hier niet dat dit veel fouten kan opleveren (pijnlijk duidelijk geworden bij de PPON 2004). p. 53:
A. Het hoofdrekenen.
B. Het cijferen.
We willen ons hier niet bezighouden met de vraag, wat belangrijker is: hoofdrekenen of cijferen. Wij menen nl. dat dit geen wezenlijk probleem is. Als men zich in een hoofdrekensituatie bevindt, moet men kunnen hoofdrekenen. Zijn de getallen te ondoorzichtig, eventueel te groot, dan moet men kunnen cijferen om de juiste uitkomst te bepalen. (…)
Wij zien de relatie tussen deze twee als volgt: Het hoofdrekenen moet zo goed mogelijk tot ontwikkeling gebracht worden door het inzicht in het talstelsel en in de structuur der getallen te vergroten. Op grond hiervan zouden we willen stellen, dat een leerling de opgaven uit het hoofd moet berekenen, wanneer hij hiertoe in staat is. Hij mag slechts gebruik maken van de cijfermethode als het hoofdrekenen hem in de steek laat, doordat de opgave te grote, te moeilijke getallen en getallenrelaties bevat.
Zo zijn hoofdrekenen en cijferen even belangrijk in het rekenprogramma: beide zijn te beschouwen als middelen om de opgave tot oplossing te brengen.
(…) De leerling moet er prijs op leren stellen, zoveel mogelijk de opgave met de hoofdrekenmethode op te lossen. De onderwijzer moet hier grote invloed uitoefenen, o.a. door de uitkomst schattend te laten benaderen.
vv
cijferen is mechanistisch ; is dat zo ?
benwilbrink, hierboven
(cit.) “de misvatting dat cijferen mechanistisch zou zijn”
Daar zit precies de verwarring. Het lijkt mechanistisch. In ieder geval lijkt het aanleren mechanistisch : cijfers leren, tafels stampen, eindeloos herhalen, tot “het zit”.
Inzichtelijk rekenen lijkt immers zo veel mooier.
Forget it. Het is net andersom. Dat is theoretisch buitengewoon goed te onderbouwen – kijk onder child development theory, biologische leerprocessen en zo. Zo eenvoudig is het feitelijk !
Het typeert wel de wijdse verwarring in onderwijs dat, wat “inzichtelijk rekenen” genoemd wordt, alom de trofee weg draagt.
De onderwijskunde van RR zit zo ingewikkeld in elkaar als ieder belieft of denkt.
Maar het moet toch elke dummy duidelijk zijn dat RR niet gaat over rekenen, maar over argumenteren ?
Argumentatie-kunde leren aan groep 3 ? Probeer dat maar in het VO, daar hoort het thuis, bij die leeftijdsfase.
maarten
vv G-H-D hoofdrekenen en cijferen
Met dit schot tussen hoofdrekenen en cijferen, bereiden de auteurs de weg voor Adri Treffers e.a. om het cijferen af te ruilen tegen rekenmachientjes. Besefte niemand dat met het afserveren van het cijferen er tegelijk enorm veel oefening hoofdrekenen met de vuilnisman meeging? Wie zijn ‘Meijerink’ kent, ziet ook daar een kunstmatig onderscheid tussen hoofdrekenen en algoritmisch rekenen. Reken uit uw winst. p. 53-54:
Bij het cijferen gaat het om het uitvoeren van streng gereglementeerde handelingsstructuren, waarbij het denkend en kiezend ik is uitgeschakeld. Wanneer deze handelingsstructuur (met of zonder inzicht) is ingeprent, verloopt de handeling mechanisch — vandaar dat we het cijferwerk door een machine kunnen laten verrichten.
Hoe hebben deze auteurs niet kunnen zien dat hier de ene drogreden op de andere is gestapeld? Ook in bij de vierde druk. En gezien de verdere ontwikkeling in Wiskobas en realistisch rekenen, ook in de erop volgende decennia.
Ingewikkeld
Wat betekent dat: een handeling die ‘mechanisch’ loopt?
Is dat hetzelfde als ‘automatisch’?
Valt het autorijden door een ervaren automobilist die zich ook kilometers lang niet realiseert wat hij precies doet, ook zo’n mechanische handeling? Of begrijp ik het helemaal verkeerd?
Kan dus het autorijden ook maar beter door een automatische piloot worden overgenomen?
Of moet ik me als automobilist voortdurend bewust zijn van alle alternatieven die er ook nog mogelijk zijn, die naast elkaar zetten, en er eentje kiezen?
Of maak ik nu een verkeerde vergelijking?
Wat bedoelen G-H-D met dat hoofdrekenen?
Bij Goffree, Hiddink en Dijkshoorn (1970) moet het hoofdrekenen veel heren tegelijk dienen. Het blijft dan schemerig wat de auteurs er mee willen, laat staan wat de wetenschappelijke onderbouwing van deze didactiek is. Hetzelfde probleem vinden we bij Van Gelder (zie hierboven).
G-H-D geven hoofdrekentestjes op bijv. niveau klas 6, vooral opgaven met getallen die zó zijn gekozen dat de opgave ‘handig’ is uit te rekenen, zie bijv. het testje in 7791#comment-63751. Zij bedoelen deze testjes vooral als oefening, en het hoofdrekenen als instrument om vertrouwd te raken met getallen en getalstructureren. Ik begrijp niet hoe zij, onder de laatstgenoemde doelstelling, uitkomen bij rekenen met speciaal gekozen getallen. G-H-D maken kennelijk een radicaal onderscheid tussen tussen hoofdrekenen met getallen onder de 100, te automatiseren tot de tafels van vermenigvuldiging en optellen/aftrekken, en het attent zijn op bijzonderheden van de getallen in de opgave die een verkorte berekening mogelijk maken. Maar ik heb voor dat radicale onderscheid in hun boek nog geen rechtvaardiging gezien, laat staan een empirisch onderzoek dat al die aandacht voor dat handige rechtvaardigt. Ook ‘Rekenles IV Hoofdrekenen’ (blz. 125-127) laat mij in verwarring achter. Zo is volgens G-H-D de bedoeling van een les hoofdrekenen:
Het ontgaat mij waarom dit een legitiem doel van rekenonderwijs zou kunnen zijn. Bijv. om een les van 20 minuten te wijden het type probleem 328+298 = 628–2 = 626.
We vinden bij G-H-D dus al de didactiek van het ‘handig’ rekenen met getallen waarmee handig valt te rekenen. Zonder onderbouwing. Waarschijnlijk praten de realistische rekendidactici, waartoe ook Goffree behoort, de didactiek van G-H-D na. Verrassend en treurig, eerlijk gezegd.
Goffree, Hiddink& Dijkshoorn hoofdrekenen: tenslotte
Dan is er nog een heel hoofdstuk 9 gewijd aan hoofdrekenen en cijferen. Het is een herhaling van de achterliggende gedachten diee aan het voorgaande niets toevoegt.
En dan is er ineens behandeling van ‘handige’ oplossingen die berusten op algebra. Dus waarvan Van Gelder (hierboven) heeft gezegd dat het trucjes zijn. G-H-D stellen met hoofdletters dat die geen trucjes zijn. Maar het lijkt meer een hobby van G-H-D dan een serieus onderdeel van de rekendidactiek: het is kennelijk niet de bedoeling er ooit een leerling mee lastig te vallen. Een uitvoerige hoofdrekentest gebaseerd op merkwaardige producten (blz. 185) is alleen bedoeld voor kwekelingen die dat leuk vinden? Bv.:
57×63 = …
Bij het cijferen is er nu wèl hoofdrekenen nodig, zonder dat het hoofdrekenen wordt genoemd:
Zouden die geautomatiseerde bewerkingen (0 t/m 100) daarom geen ‘hoofdrekenen’ mogen heten?
NB. Tenslotte een waarschuwing tegen kolomrekenen en de hapmethode bij het oefenen:
Wanneer is Goffree omgedraaid?
G-H-D besluiten met de verkortingen op de standaardalgoritmen, zoals ervaren rekenaars die wel hanteren. Standaardalgoritmen zijn niet de kortste algoritmen!
‘zulke kost aan de kleintjes voor te zetten is wreed’
Ik citeer blz. 31 uit: D. Tiemersma & P. Wardekker (z.j. [1959]). Dit is rekenen. Overzicht, inleiding en toelichting, behorende bij de methode.. Ingeleid door J. Waterink. SCAN [Leer één methode voor hoofdrekenend aftrekken]
De wijze waarop men de kinderen deze aftreksommetjes leert, verschit veel. Wij noemen er hier de voornaamste:
Misschien is de manier, waarop u het onderwijst er nog niet eens bij. ‘t Is ook mogelijk, dat u het dan eens zus en dan weer zo doet.
De HH Turksma en Timmer schrijven op blz. 191 van hun Rekendidaktiek dat het geen betoog behoeft, dat AL DEZE METHODEN moeten worden aangeleerd. Arme kinderen en arme onderwijzers als deze raad werkelijk wordt opgevolgd. Wij zouden in de hoogste klassen van de l.s. en dan alleen nog als attractie voor de begaafde rekenaars, eens zo’n lesje willen geven, maar zulke kost aan de kleintjes voor te zetten is wreed en alleen maar geschikt, om de tegenzin, die vele kinderen al in rekenen hebben, nog te vergroten.
Hoe kom ik hier nu weer aan? De rekenmethode en de experimentele benadering van Tiemersma en Wardekker krijgen (positieve) aandacht in het proefschrift:
A. Leen ((1961). De ontwikkeling van het rekenonderwijs op de lagere school in de 19e en het begin van de 20e eeuw (blz. 164 e.v.). Wolters.
commentaar op de voorbeelden
vb1: Dat is de traditionele wijze: eerst het tiental eraf (op een of andere merkwaardige wijze blijkt dat niet moeilijk) waarna we eerst 6 eraf doen (springen tot het tiental) en daarna nog 1.
vb 2: Dit is de ‘handig rekenen’-methode, gebaseerd op analogie. Sommen als 21 minus 3 leveren hetzelfde antwoord op als men bij beide getallen hetzelfde bijtelt of afhaalt.
21 minus 3 geeft hetzelfde als 20 minus 2, of 30 minus 12, of 100 minus 82, of 41 minus 23. Leerling moet zelf gaan ontdekken welke handigheid het handigst is.
vb 3: Splitst de aftreksom op in het ‘eenvoudiger’ (?) 21 minus 17, waarna het afgezonderde restant (30) er weer bij wordt gehaald. Deze methode kwam ik niet tegen. Zou onder ‘handig rekenen’ kunnen vallen, gezien de pretenties van handig rekenen.
vb 4: Is als voorbeeld 2: haal hetzelfde af van beide getallen en het antwoord blijft gelijk. Handig rekenen anno 2012.
vb 5: Is ook als voorbeeld 2: doe hetzelfde erbij bij beide getallen, en het antwoord blijft hetzelfde. Ook handig rekenen anno 2012.
Drie voorbeelden zijn dus precies als ‘handig rekenen’ volgens de RR-methode.
Een voorbeeld (het eerste) is de traditionele methode.
Een voorbeeld zoekt naar een eenvoudige som door een deel van de opgave gewoon af te scheiden, om dit deel naderhand weer toe te voegen. Geen persoonlijke ervaring met dit model.
Wat is nu handiger?
Bij de traditionele bewerking van de som 21 minus 17, moet een leerling 3 stappen beheersen:
– aftrekken van het tiental
-aftrekken van 1 en vervolgens 6
– het kunnen splitsen van 7 in de hier handige onderdelen 1 en 6.
Wat moet een leerling beheersen bij het nieuwe ‘handige rekenen’:
– het kennen van de regel dat hetzelfde getal optellen of aftrekken bij beide getallen, eenzelfde antwoord geeft,
– verschillende getallen kunnen optellen of aftrekken, bij beide getallen.
En dan aan een nieuwe rekenbewerking beginnen en die op traditionele wijze uitrekenen.
Het eerst op zoek gaan naar een gemakkelijker alternatief voor de opgave, is wellicht niet eenvoudiger: sommen moeten veranderd worden in andere sommen die eenzelfde antwoord opleveren.
Van Gelder, 1969
Bij Van Gelder (1969) heeft hoofdrekenen een andere betekenis dan Treffers en De Moor (1990). Opvallend is wel dat Van Gelder zomaar de bron zou kunnen zijn van een aantal kroonjuwelen/drogredenen van de Freudenthal-groep, wat de tegenstelling hoofdrekenen – cijferen betreft (blz. 73-75 ‘Cijferen en hoofdrekenen’).
Van Gelder staat kennelijk onder invloed van de Duitse denkpsychologie. Hij geeft een geheel eigen invulling van wat hoofdrekenen is. Zie ook hoe hij hier een kunstmatige scheiding aanbrengt tussen hoofdrekenen en cijferen:
Daarom moet er sterk tegen gewaakt worden, dat het hoofdrekenen niet ontaardt in verkapt cijferen. Bij het cijferen gaat het om het feilloos hanteren van vastgestelde regels. Daarbij behoeft niet in de eerste plaats gelet te worden op de bijzondere eigenschappen van de gegeven getallen.
Van Gelder gruwt overigens van ‘handige’ kunstjes, zoals 98 x 102 = 1002 – 22.
Het is mij niet duidelijk of idealist Van Gelder het kunnen hoofdrekenen ook als einddoel van het lager onderwijs ziet, of alleen als middel.