Op 18 januari kwam het CITO met het volgende nieuwsbericht: “Scholieren iets beter in rekenen en wiskunde”. Dit naar aanleiding van de uitkomst van het rapport “Balans van het reken-wiskundeonderwijs halverwege de basisschool 5”.
De eindconclusie van het rapport luidt echter (blz. 189):
“De conclusie is dat er aldus gecorrigeerd voor geslacht, leertijd, herkomst en formatiegewicht nauwelijks verschillen in leerlingprestaties tussen de verschillende afnamejaren worden gevonden.”
In het rapport worden de verschillende effecten gemiddeld, elk met hetzelfde gewicht (!), tot 0,07. Een effectgrootte van 0,07 is verwaarloosbaar klein. Dit staat ook in het rapport zelf, vandaar dus de genoemde eindconclusie: “nauwelijk verschillen”.
Met dit middelen wordt bovendien verbloemd dat de basisautomatismen optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen juist in niveau achteruit zijn gegaan (maar ook: verwaarloosbaar klein).
Dan nog wat overige opmerkingen. De eindconclusie vergelijkt alleen met 2003, maar vermeldt niet wat de huidige stand van zaken is. Veel vaardigheden worden onvoldoende beheerst. Er staan behoorlijk wat schokkende deelconclusies op blz. 7 t/m 9. Bijvoorbeeld: “Opgaven in context zoals (…) 100 : 25 worden door de gemiddelde leerling nog onvoldoende beheerst.” En: “Ook het omzetten van minuten naar uren en minuten, zoals bijvoorbeeld 85 minuten naar 1 uur en een aantal minuten, wordt nog onvoldoende beheerst.”
Deze deelconclusies bevestigen de huidige praktijk op de middelbare school. Inmiddels
wordt er tijdens de wiskundeles weer rekenen gegeven. Universitaire opleidingen organiseren zomercursussen om hun aankomende studenten bij te spijkeren.
Dat er in het persbericht over wiskunde wordt gesproken – terwijl het resultaten betreft uit groep 5 – zie ik voor het gemak maar even door de vingers.
Concluderend. Volgens mij kan uit de resultaten van dit rapport niet worden geconcludeerd dat “Scholieren iets beter in rekenen en wiskunde” zijn. Ik vind dit misleidend en slecht voor de beeldvorming. Ik vind ook dat we dit niet zomaar kunnen toestaan. Het doet mij denken aan het volgende:
Een leerling heeft in een periode gemiddeld een 5,0 voor wiskunde. Dit cijfer is een gemiddelde van:
rekenvaardigheden 4.9
meetkunde 5.2
aflezen van grafieken 4,9
Een periode later scoort de leerling:
rekenvaardigheden 4.7
meetkunde 5.3
aflezen van grafieken 5.3
Het gemiddelde wordt een 5.1.
De school laat vervolgens aan de ouders weten: “Hoera, uw kind is beter geworden in rekenen en wiskunde!”
wiskundejuf
toetsen, toetsen, toetsen,
de mantra van het kabinet. Daarom moddert CITO verder door het TAL-landschap van de doodlopende leerlijnen van Meijerink/Van Streun. En dan af en toe zo’n berichtje. Volksverlakkerij natuurlijk. Bij de bijeenkomsten met SLO stelt CITO ondertussen vooral de eigen belangen veilig, zo hebben we 12 december weer kunnen zien. Wat er getoetst wordt doet er niet toe, als het maar schuift.
Die verschrikkelijke contextopgaven
Er moet een moratorium komen op contextopgaven. Om vooral deze twee redenen:
1) Contexten zijn in de filosofie van het realistisch rekenen bedoeld om leerlingen te motiveren, en horen om die reden niet thuis in tussentijdse toetsen of welke vorderingentoetsen dan ook.
2) Een andere reden waarom contexten in het realistisch rekenonderwijs zo uitbundig voorkomen is de gedachte dat het leren omgaan met uit het leven gegrepen situaties voorkomt dat deze leerlingen later als volwassenen hun rekenkennis niet toepassen, waar dat wel eenvoudig had gekund.
Dat laatste is een groteske stelling, waarvoor ik geen ondersteunend empirisch onderzoek ken. Maar stel nu eens dat er een kern van waarheid in zit, en dat het om diagnostische redenen van belang is om deze transfer periodiek te testen. Dan gaat het bij het testen met contextopgaven niet om het toetsen van rekenvorderingen, maar om het ‘vermogen’ — whatever that may be — om de eigen rekenvaardigheid ook te gebruiken in onverwachte situaties waarin dat rekenen relevant kan zijn. Nou, jongelui, een rekentoets is niet zo’n onverwachte situatie, en al helemaal geen situatie uit het dagelijks leven waarin misschien moet worden gerekend.
PPON groep 4 en 5 vergelijkt 2003 en 2010
Het rekenrapport, dat is op deze Cito-pagina op te halen. Het valt me op dat de Cito-voorlichting hier realistisch jargon gebruikt: ‘rekenen-wsikunde’ in plaats van ‘rekenen’. Excuus, voorlichters: ook de titel van het rapport heeft deze nood-kreet. Dit is een PPON-onderzoek. Voor de goede orde: de PPON in 2011 voor 12-jarigen is een ander onderzoek: daar is de rapportage nog niet over verschenen.
De gevonden effectgrootten zijn effectief nul, met vier positieve uitzonderingen: significante verbeteringen, met “een effect dat in de richting van een klein effect gaat”. Hoe moet je zoiets lezen: omdat er veel leerlingen zijn getoetst, zijn statistisch significante verschillen al gauw gevonden; van betekenis is dat het om effecten van niks gaat, zoals de Cito-formulering zelf al aangeeft. Als we op deze manier de komende decennia vooruitgang moeten boeken, dan gaat het niet echt lukken.
Een vergelijking met een paar Belgische klassen zou zeer welkom zijn. Gewoon op dezelfde toetsen als bij deze PPON gebruikt.
Referentiesets
Het Cito gaat ‘referentiesets’ met opgaven ontwikkelen voor de taal- en rekentoetsen:
Zie de website van het Cito
Eveneens gisteren op de op de website geplaatst: een voorlichtersstuk over Citoscores, vanwege het SCP-rapport. (zie ook draad 8185 over het SCP-rapport)
Waarom hoofdrekenend aftrekken onder de 100?
Hoofdstuk 5 van dit rapport: Patronen in oplossingsmethoden voor aftrekken (Jean-Marie Kraemer en Michel Hop) is een deelonderzoek met een kleinere steekproef van leerlingen.
Wat mij enorm bevreemdt (maar ik zal daar ook het proefschrift van Frans van Mullen nog op nalezen, omdat hij hoofdrekenen onder de 100 heeft onderzocht (Leiden)) is dat leerlingen in groep vier en vijf moeten leren hoofdrekenen onder de honderd. WIE KAN UITLEGGEN WAAROM HOODFDREKENEND AFTREKKEN TOT 100 EEN BELANGRIJKE REKENVAARDIGHEID IS DIE DUS IN HET PROGRAMMA VOOR BASISSCHOLIEREN MOET ZITTEN?
Ik zie in dit hoofdstuk twee levensgrote problemen:
1.) Er zijn verschillende manieren waarop deze aftrekopgaven uit het hoofd gemaakt kunnen worden. Daar gaan we dan weer: waarom is het nodig om deze rekenmethoden te leren, methoden die bij de rekenalgoritmen voor vermenigvuldigen en delen niet aan de orde zijn?
2.) De jongelui gaan eerst via contextopgaven zelf die verschillende oplossingsaanpakken (splitsen, rijgen, wat niet al) ONTDEKKEN. Het Cito blijkt bekeerd tot het gedachtengoed van de Freudenthal-groep! Wat hebben we nu aan de klomp hangen?
Geen wonder dat Nederlandse leerlingen grote achterstanden op hun Belgische lotgenoten oplopen. Een aardig onderwerp voor discussie in de wandelgangen van de Panama-conferentie?
Frans van Mulken
Wat zegt Frans van Mulken over de noodzaak of de wenselijkheid om hoofdrekenen tot honderd in het rekenprogramma van de basisschool op te nemen? Zijn onderzoek berust kennelijk op de veronderstelling dit hoofdrekenen een onmisbare schakel is in het verwerven van de basale rekenvaardigheden.
Zijn stelling 3 is duidelijk genoeg — het is hartstikke nuttig:
Maar deze stelling roept bij mij alleen maar vragen op. Waarom is een didactiek van hoofdrekenen tot 20 niet voldoende? Wat is ‘het leren toepassen van kennis omtrent oplossingsmethoden’? Dat laatste klinkt mij behoorlijk ‘realistisch’ in de oren, maar is vooral verwarring over wat psychologen meta-cognitie noemen, en waar je leerlingen in het basisonderwijs juist niet mee moet belasten. Of heeft Van Mulken hier alleen de leraar op het oog? Van Mulken gaat de vraag over nut en noodzaak van hoofdrekenen tot 100 dus niet beantwoorden, hij veronderstelt het gewoon. Eens zien in zijn tekst zelf, of dit klopt.
Dat verbazingwekkende hoofdrekenen
Bij de eerste bladzijden van het proefschrift van Van Mulken rol ik van de ene verbazing in de andere. Laat ik de verbazing delen.
p. 16-17. Hoofdrekenen van 20 tot 100 kent twee belangrijke methoden: de klassieke G.10-methde (rijgmethode, doortellen) en de 10.10 splitsmethode (het startgetal eerst splitsen in tientallen en eenheden). Die laatste methode heet bij Treffers de kolommethode, en die bereidt voor op het cjferen. Dat is verbazing nr 1. Trek uw eigen conclusies.
p. 18. Van Mulken ziet de publicaties van Treffers in 1982 in Pedagogische Studiën als sleutelpublicaties voor de plaats van het hoofdrekenen tegenover het cijferen. De uiteenzetting van Van Mulken is niet echt glashelder. Het komt erop neer dat in conventionele methoden in de zestiger en zeventiger jaren het hoofdrekenen een bescheiden rol speelt, en al gauw plaatsmaakt voor het cijferen. Treffers en anderen bedenken dat de rekenmachine dat cijferen toch overbodig gaat maken, en dat rekenonderwijs juist om hoofdrekenen gaat. Hoofdrekenen wordt dan een breed begrip: ook handig rekenen, schattend rekenen, hoofdrekenen met het hoofd, op een kladblaadje”. Kortom: het tegenwoordige hoofdrekenen is realistisch rekenen, en heeft het conventionele onderwijs in basale vaardigheden vervangen. Verbazing nr 2.
De PPON-onderzoeken, voorzover ze hoofdrekenen in al zijn bizarre varianten (‘handige getallen’ en de hele mikmak), vallen dus binnen het bereik van die bijzondere didactische opvatting, het realistisch rekenen, waar bijvoorbeeld Vlaanderen niet onder gebukt gaat. Het Cito als filiaal van het Freudenthal-Instituut.
Hoe fantastisch dat hoofdrekenen, hoe mechanistisch het cijferen
De volgende verbazing is hoe ook Frans van Mulken valt voor de drogreden dat standaardalgoritmen gebruiken en ‘mechanistisch rekenen’ hetzelfde zijn.
Van Mulken construeert hier zelf, in de bewoordingen die kiest, het mechanische. Wat handig rekenen betreft (p. 23) mist Van Mulken volledig het inzicht dat dit alleen met bijzondere getallen mogelijk is (en dus een typisch schoolse trucendoos is): ‘bijvoorbeeld het veranderen van de opgave 47 – 19 in 47 – 20 + 1.
Voor een ontkrachting van de malle stelling dat werken op basis van standaardalgoritmen ‘mechanistisch is’ kunnen we bijv. te rade bij
Daar lezen we op blz. 175: wie de staartdeling goed beheerst, kan nog tot verdere verkorting komen. Met andere woorden: het ‘handig rekenen’ begint hier pas ná de beheersing van het standaardalgoritme. Inderdaad: als bonus voor het geod kunnen rekenen. Niet omgekeerd als zou het er een voorbereiding op vormen.
Frans van Mulken en ‘De proeve’ van de Freudenthal-groep
Ik vind het beroerd voor Frans van Mulken, maar het moet hier wel worden gemarkeerd dat hij zijn promotieonderzoek mede baseert (zie p. 24-25) op dat verdomd invloedrijke pamflet uit de Freudenthal-groep: de Proeve. We zien hier dus de moeizame figuur, of de pijnlijke spagaat, dat een in beginsel serieus promotieonderzoek, onderuit gaat op een bananenschil van onwetenschappelijkheid.
Een poging tot antwoord…
…op je gehoofdletterde vraag. Ik ben geen wiskundige, maar bied je slechts mijn indrukken aan van een (beta-geschoolde) ouder die zijn dochters leert rekenen.
“Aftrekken onder de honderd” (dat lijkt op een tv-programma over blijvend seksueel genot voor ouderen, maar dat bedoel ik niet) is volgens mij om twee redenen belangrijk. Ten eerste omdat aftrekken moeilijker, want een stap verder is dan optellen. Ten tweede omdat bij getallen tussen 10 en 100 de speciale kenmerken van ons tientallig stelsel een rol beginnen te spelen.
Dat zijn dan twee dimensies waarop het hoofdrekenen in moeilijkheidsgraad toeneemt. De combinatie van die twee dimensies is kennelijk wat men in het basisonderwijs aan moeilijkheid of ‘niveau’ verlangt.
Waarom is aftrekken moeilijker? Omdat rekening houden met ‘vingers er bij’ gemakkelijker is dan rekening houden met wat je niet ziet: vingers er af. Omdat je bij 3 en 5 wel denkt aan 8, maar omdat je bij 5 en 8 niet zo snel denkt aan 3. Idem met 13 en 16. Dan denk je eerder aan 29 dan aan -3. Optellen lijkt als mentale actie meer vooraan in het werkgeheugen te zitten dan aftrekken.
Hoezo kenmerken van tientallig stelsel? Omdat Je bij (optellen en) aftrekken tussen 10 en 100 gebruik maakt van het ‘opschuiven’ van resten en tientallen naar andere kolommen. Dat maakt 6 + 7 tot een moeilijker som dan 6 + 3. Bij het eerste moet je een tiental overhevelen naar een andere ‘kolom’. Bij rekenen met honderdtallen is dat slechts nog een kolommetje er bij.
Zo ook met aftrekken. 46 – 3 is nog simpel, maar bij de ‘sommetjes onder de honderd’ komen ook 46 – 8 voor, en 46 – 18. Dan moet je bedrijfszeker kunnen goochelen met cijfers in de laatste en de eerste kolom.
Omdat getallen onder de honderd best vaak voorkomen (euro’s en centen) vind ik het gevraagde niveau niet raar.
precies, Couzijn
Dat zijn exact ook mijn ervaringen. Vooruit tellen blijkt makkelijker dan achteruit tellen, en inderdaad zijn bewerkingen met sprongen over het tiental heen, weer een stukje lastiger en al helemaal als er ook eerst nog tientallen moeten worden opgeteld of afgetrokken.
Ik ben het eens dat we moeten proberen die bewerkingen onder de 100 heel goed aan te leren en ons moeten richten op een toenemende vaardigheid hierin. Wie deze bewerkingen goed aankan, heeft een uitstekende basis voor het verdere rekenonderwijs.
Als leerlingen in groep 7 nog steeds tobben met een opgave als 73 minus 28, dan wordt rekenen met grotere getallen erg lastig.
Wel geeft de heer Wilbrink weer een aantal citaten die je met grote verbazing leest. Zo zou cijferend rekenen te veel de handelingen voorschrijven. Nee maar, cijferen is kennelijk autoritair en dat mag niet. Dat staat die creatieve zelf ontdekkende rekenaar alleen maar in de weg en beperkt zijn ontluikende bloemenpracht. Kennelijk.
De hippies zijn nog onder ons.
Oké
Michel,
Zeker, onderwijs in hoofdrekenen kan zinvol zijn. Is dat in de praktijk ook zo? Hoofdrekenen is in realistische methoden en met realistische leraren belast met veel extra doelen: vanuit contexten leren, handige trucjes leren, leren schatten, hoofdrekenen met een kladpapiertje (waarom dan geen standaardalgoritmen?).
Bij het lezen van het deelonderzoek over hoofdrekenen (in het PPON-rapport dat in deze draad ter discussie staat) viel bij mij het kwartje: dit rekenen draagt niet direct bij aan de rekenvaardigheden die uiteindelijk van belang zijn. Nee, met dat laatste bedoel ik niet de kerndoelen basisonderwijs: dat is tot staatsdidactiek gepromoveerd realistisch rekenen.
Er is een verband met de PPON voor 12-jarigen. Marian Hickendorff heeft daar een briljant promotieonderzoek over gedaan. Daarin is ook te zien om welke rekenopgaven het eigenlijk gaat, en wat je dan ziet dat wil je eigenlijk niet weten. Er is bij wijze van spreken geen enkele serieuze rekenopgave bij. En toch zijn in 2004 de basale rekenprestaties enorm gekelderd. Of juist daardoor?
Ik denk dat dit een goed moment is om dieper in de problematiek te duiken. Ik vermoed dat dit hoofdrekenonderwijs — dat doorgaat tot en met groep 8 want het hoort tot de realistische/staats-kerndoelen — een mega-kwaliteitsprobleem in het huidige rekenonderwijs vormt. Ik zal een er een draad over openen, waarin ik zelf in ieder geval de beschikbare literatuur doorneem en er de sleutel-citaten uithaal (pro en contra).
Ook als veel aandacht voor hoofdrekenen op zich goede resultaten oplevert, is het de vraag of de tijd doelmatig is besteed: wat is het alternatief voor deze overmaat van hoofdrekenen in ons onderwijs sinds 1990, en is dat alternatief niet veel beter qua prestaties? En is dit hoofdrekenonderwijs doeltreffend, in de zin dat het op het juiste moment wordt gegeven? Is vlot hoofdrekenen onder 100 niet veeleer een bijgift van het vlot beheersen van de standaardalgoritmen?
Gokje wagen
Ik zet mijn schaarse pecunia op de in je laatste zin uitgedrukte hypothese. Was A.D. de Groot er nog maar, dan konden we een gokje wagen (wetenschap als weddenschap).
weddenschap
Michel,
Van Gelder (1969) (draad 8212) heeft een heel andere invulling van wat hoofdrekenen is: en instructiemiddel, om leerlingen met getallen bezig te laten zijn. Niet een einddoel, maar een middel.
Waar je ook kijkt in serieuze psychologische literatuur, kun je constateren dat het vermogen om flexibel met probleemsituaties om te gaan, het extra is dat gedegen expertise met zich meebrengt. Nieuwelingen, in welk vak dan ook, hangen er met de nagels aan; het is absurd om juist van nieuwelingen flexibiliteit te verwachten, of het ze te willen leren nog voordat ze ervaren zijn. Dat is in een paar woorden een karakterisering van de ellende die ‘realistisch rekenen’ heet: daar gebeurt alles in omgekeerde volgorde, zodat per saldo geen enkel doel meer wordt bereikt.
Je pecunia zijn veilig.
Novices zijn geen experts – daarom ook niet zo behandelen
Doet me denken aan een discussie jaren negentig, over het novice-expert-paradigma dat toen opgeld deed in de cognitieve psychologie.
De gedachte: als we weten hoe experts denken bij het probleemoplossen (rekenen, schrijven, kaartlezen, schaken (!)) dan kunnen we daaruit afleiden waarin we novices moeten onderwijzen.
Die aanname leek me toen al mal, en nu nog. Expertise is het (voorlopig) eindpunt van een ontwikkeling; die ontwikkeling is nodig om bij dat eindpunt te geraken. Ik ken geen violisten die als kleuter al speelden als Janine Jansen, of op het conservatorium thuishoorden.
Ook ‘studiehuisdidactiek’ berustte vaak op deze naïeve aanname.
Willen we leerlingen zelfstandigheid bijbrengen, dan moeten we niet doen – en hen behandelen – alsof ze al zelfstandig *zijn* en aan navenante eisen kunnen voldoen. De expert kan misschien plannen en organiseren en zelfreguleren (?) maar de leerling gaat dat niet leren door meteen te doen alsof.
In het vroege ontwikkelingsstadium van ’tellen’ lijken de concrete context (vingertjes, ‘appels’) en abstracte kennis hand-in-hand gaan. Ook bij eenvoudige operaties als delen steunen concrete voorbeelden de didactiek (2 taarten met 5 kinderen). Maar het expertiseniveau waarop abstracte wis- of rekenkundige inhouden worden herkend in ‘alledaagse’ (?) open contexten is daar nog een eind vandaan. Men verlegt de aandachtsfocus van leerling (en leraar) te vroeg naar een gebied waar hij nog niet aan toe is. Dat experts het kunnen, is geen reden om novices er mee te frekwenteren.
Over hoofdkaartlezen
Hoofdrekenen lijkt me inderdaad een handig bijproduct van algoritmisch leren rekenen. ‘Rekenen op papier’ is geen alternatief voor hoofdrekenen, maar sluit het in: tijdens het schrijven wordt in het hoofd gerekend. Hoe vaker, hoe beter. Het moment dat leerlingen voor bepaalde operaties geen papier meer nodig hebben (omdat die hun werkgeheugen minder belasten) is een ontwikkelingsstap verder. Dus zeker niet te vroeg van hen vergen.
Een leerling die 13 x 17 oplost door op papier 170, 30 en 21 op te schrijven en daarna het goede antwoord 221 te melden, heeft zowel gehoofdrekend als gepapierrekend. Hadden we hem/haar papier ontnomen, dan was de leerling er misschien niet uitgekomen, of had zich vergist. De leerling het papier ontnemen omdat experts dat ook niet nodig hebben, is contraproductief.
In zekere zin is ‘hoofdrekenen’ een pleonasme. Rekenen kun je niet doen zonder je hoofd; de operaties komen niet op papier zonder dat ze zich in het hoofd afspelen. Onderscheiden leraren Nederlands soms ‘hoofdschrijven’ en ‘hoofdlezen’ van gewoon schrijven en lezen? Gaat de leraar aardrijkskunde ‘hoofdkaartlezen’?
Gebruik van papier heeft de functie van ’tijdelijk werkgeheugen’, van hulpmiddel voor een ordelijke aanpak van problemen, en van presentatiemiddel voor ouders en leraren die willen weten wat een kind er van bakt. Weglaten van papier vraagt (soms aanzienlijk) meer van het werkgeheugen en van het mondelinge uitdrukkingsvermogen van de leerling. Maar het lijkt me geen wezenlijk andere ‘manier’ van rekenen. Of lezen. Of kaartlezen.
Rekenen ‘uit het hoofd’
betekent natuurlijk rekenen zonder extra hulpmiddelen. Rekenen terwijl u loopt te wandelen bij wijze van spreken. Dit volgde op de andere rekenlessen. Het was een aparte vaardigheid die geoefend werd. Goed onderwijs. De som 13 x 17 kon een leerling destijds uit zijn hoofd uitrekenen (170 + 51).
Je hebt uitrekenen en uitrekenen
“De som 13 x 17 kon een leerling destijds uit zijn hoofd uitrekenen (170 + 51).”
Wat rekent de leerling hier uit? Dat 10 x 17, 170 is wordt bepaald volgens het trucje dat “10 x AB is AB0″ waarbij A en B voor elk willekeurig cijfer kunnen staan.
Dat 3 x 17 het getal 51 oplevert, wordt niet uitgerekend maar ‘weet’ je gewoon. Of desnoods doet een kind dat via de tussenstap dat 3 x 10 dertig is en 3 x 7 het getal 21 oplevert. Daarvoor hoef je niks te tellen, dat *weet* je omdat je de (zo belangrijke) tafels hebt geleerd.
Rome hoort bij Italië en Kaïn hoort bij Abel zoals bij 9 x 7 het getal 63 hoort. Daar hoeft niet meer voor gerekend te worden.
Die verkorting bepaalt het succes van het hoofdrekenen. Dat je sommige dingen niet meer hoeft uit te rekenen, maar weet. Zodat je denkvermogen (‘cognitive processing’) over hebt om de dingen uit te rekenen die je niet vanzelf te binnen schieten.
Jouw wandelaar kan 13 x 17 uitrekenen omdat hij voldoende cognitieve capaciteit heeft om tijdens het denken de tussenuitkomsten 170 en 30 en 21 op te slaan, en die aan het einde samen op te tellen. Dat ontwikkelingsstadium bereikt een kind pas na jaren rekenen. Kinderen die net aan in staat zijn om 10 x 17 uit te rekenen, of 3 x 10 en 3 x 7, zijn nog lang niet in staat om louter in hun hoofd 13 x 17 uit te rekenen. Die hebben nog een tijd papier nodig als surrogaat-werkgeheugen (‘processing power’).
Kortom, ik wil niks afdoen aan je stelling dat ‘een leerling destijds de som 13 x 17 uit zijn hoofd kon uitrekenen”, maar beweer dat hij dat alleen kon doordat deelprocedures waren bekort en daarom minder ‘processing power’ vereisten. Het is dan niet langer nodig de som in zijn geheel ‘uit te rekenen’.
Daarom zijn tafels zo belangrijk. Niet om de kennis zelf dat 7 x 3 het getal 21 oplevert, maar omdat deze geautomatiseerde kennis de leerling later in staat stelt om complexere rekenoperaties uit te voeren binnen de grenzen van zijn beperkte ‘processing power’.
Helemaal eens, Couzijn
Tafels kennen is een vorm van kunnen lopen.
Wie de tafels niet kent, blijft gehandicapt, blijft struikelen.
Gek toch dat sommigen bewust een handicap willen bij kinderen.
Ik ben het eens met jouw reactie.
Reacties kunnen elkaar aanvullen. Niet noodzakelijk zijn zij tegenreacties.
En toch!
Op het MBO ben je als leerling een echte uitzondering als je de tafels wél kent. Zelfs de collega die wiskunde geeft kent ze niet uit het hoofd.
Ik sta versteld!
Hoe is het mogelijk dat scholen willen opleiden tot het ‘gehandicapt zijn’?!
Rekenen wordt onmogelijk zonder de kennis van de tafels.
En al helemaal als je wilt kunnen rekenen tijdens een wandeling.
Maar tevens worden alle bovenbouwsommen een nachtmerrie als je de tafels niet kent.
Lieden die het niet-kennen van de tafels bepleiten, moet men zeer ver van de school verwijderd houden.
wiskundige denkactiviteiten
Michel,
Een serieuze variant op jouw ‘hoofdkaartlezen’ zijn de ‘wiskundige denkactiviteiten’ die de cTWO voor het wiskundeonderwijs in petto heeft. Daar zal het vo nog het nodige van gaan horen.
En ook hier vind je niet alleen het pleonasme (wiskundige activiteiten zijn immers alleen denkend mogelijk), maar ook de omkering: cTWO wil van de leerlinge al probleemoplossers maken nog voordat ze expertise over de stof hebben verworven. Deze omkering is vermoedelijk in de geschiedenis van vernieuwingen in het (wiskunde)onderwijs over de laatste honderd jaar wel vaker terug te vinden. Je beschrijving van de misvatting is raak: als we weten wat de probleemoplossende mens precies doet (we schuiven deze in de fMRI-scanner, en Jelle Jolles doet de rest), dan kunnen we ons onderwijs daar direct op inrichten, met gebruik van al die wonderbaarlijke ICT-mogelijkheden. Toch? De VOC-mentaliteit (Vage Onderwijs Competenties). Al die kennisvakken kunnen dan met de vuilnisman mee. Lees ‘De toekomst telt’ van SLO (gemeenschappelijke naam ‘De toekomst telt’, ‘cTWO’, ‘ICT in het onderwijs’ en ‘wiskundige denkactiviteiten’: Paul Drijvers)
De PANAMA conferentie,
ach, daar was ik een keer uitgenodigd. Maar voor dat het zover kon komen kreeg ik dit mailtje met de tekst:
“Ik heb bij nader inzien, doordat ik kennis heb genomen van je website,
Marc van Zanten geadviseerd de uitnodiging voor de Panamaconferentie in te
trekken. De Panamaconferentie is geen podium voor mensen die de regels van
goed fatsoen met voeten treden.”
Also sprach: Marja.
Het programma van 2012 ging over Opbrengstgericht onderwijs bij
– rekenen! – wiskunde? –
wizwijswizwijswizwijswizwijswizwijswizwijswizwijswizwijswizwijswizwijswizwijswizwijswizwijswizwijs
Jokt het OCW “een beetje”? Wij eisen een rectificatie!
Op de website van OCW staat vandaag onder de kop: “Betere rekenprestaties scholieren basisonderwijs” de volgende tekst:
“Leerlingen in groep 5 zijn beter geworden in rekenen, terwijl er 20 minuten per week minder tijd aan rekenen wordt besteed. Scholen blijken in minder tijd betere resultaten te halen door middel van een opbrengstgerichte aanpak waardoor het onderwijs efficiënter wordt georganiseerd. Deze conclusie leidt minister Marja van Bijsterveldt af uit het peilingsonderzoek van CITO in 2010 naar rekenen en wiskunde in het basisonderwijs.”
Dit is een onjuiste voorstelling van de stand van zaken in ons onderwijs. Lees zelf enkele conclusies van het onderzoek:
Basisautomatismen: achteruitgang. Dus optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Voorbeelden zijn 9 x 5 en 16:4.
Meten en meetkunde: hoewel er een lichte vooruitgang is, heeft de gemiddelde leerling nog onvoldoende beheersing van het bepalen van het verschil tussen 1 kg en 350 gram.
Complexere opgaven in context zoals bijvoorbeeld (3 x 10) : 6 en 100 – (5 x 10) : kleine vooruitgang, maar worden door de gemiddelde leerling nog onvoldoende beheerst.
Bewerkingen in context: vermenigvuldigen en delen, complexere toepassingen, Meten en meetkunde en Verhoudingen: kleine vooruitgang. Voorbeelden: “Er zitten 6 haarklemmetjes op een kaartje. Mevrouw Niels koopt 5 kaartjes. Hoeveel haarklemmetjes zijn dat samen?”
Het omzetten van minuten naar uren en minuten, zoals bijvoorbeeld
85 minuten naar 1 uur en een aantal minuten, wordt nog steeds onvoldoende beheerst.
Lees het zelf na op de website van OCW. De titel van het rapport is: “Balans van het reken-wiskundeonderwijs halverwege de basisschool 5”
De overheid geeft een onjuiste voorstelling van de stand van zaken in ons onderwijs. Wij zouden direct een rectificatie moeten eisen.
wiskundejuf
Niet helemaal onwaar
Dat de prestaties beter zijn kun je op basis van dit PPON onderzoek best zeggen. In 1 zin samengevat is de conclusie:
De gemiddelde effectgrootte voor afnamejaren 2003-2010 is 0,07.
Dat is een toename van vrijwel niks, maar toch een toename.
Dat deze toename komt door een ‘opbrengstgerichte aanpak’, daar valt op basis van het PPON onderzoek echter helemaal niks over te zeggen. Het is hier dat het ministerie over de schreef gaat met haar persbericht.
gemiddelde effectgrootte
Beste Mark,
Dank je voor je reactie. De gemiddelde effectgrootte, die had ik nog niet begrepen. Ik kreeg de indruk dat enkele conclusies uit het onderzoek waren gelicht, en andere verzwegen.
Ok, dus niet helemaal onwaar. Tenminste, op grond van dit rapport. Maar toch wel de halve waarheid, lijkt me.
Is de “gemiddelde effectgrootte” is niet afhankelijk van de keuze van verschillende effecten en de weging hiervan? Hiermee lijkt mij dit geen waardevrij getal.
Re: gemiddelde effectgrootte
Natuurlijk, de gemiddelde effectgrootte hangt ervan af wat je kiest te meten…. Een effectgrootte van 0,07 is overigens zo ongeveer verwaarloosbaar klein.
Effectgrootte
De Wiki legt uit wat effectgrootte is.
Nog meer bedenkingen
Bedenk ook dat natuurlijke fluctuatie, steekproeffouten, en toetsing van veel nulhypotheses tegelijk oorzaken zijn van het vinden van statistische verschillen of ‘effecten’ die geen basis hebben in de werkelijkheid waarover men conclusies wil trekken.
Natuurlijke fluctuatie: het ene jaar zijn er net iets meer vrouwen dan mannen in de Ned. bevolking, het andere jaar is dat andersom. Zijn dat ‘effecten’?
Steekproeffouten: steekproeven zijn niet 100% representatief voor de populatie; de mate waarin ze dat wel zijn, verschilt en is o.a. door toeval bepaald.
Toetsing van veel hypotheses tegelijk: als je tien aspecten van een complex (‘wiskundeonderwijs’) onderzoekt en verschillen toetst met een bepaalde alfa (5% eenzijdig of 10% tweezijdig) vind je op grond van het toeval waarschijnlijk minstens één ‘effect’ dat een artefact is van de methode.
Toetsen van veel hypotheses tegelijk
Het Cito-rapport zit naar mijn gevoelen te dicht bij de situatie die je in je laatste alinea beschrijft (chapeau, want er zijn maar weinig onderzoekers die zich ervan bewust zijn dat statistisch significante verschillen ook op basis van toeval kunnen opduiken). Er zijn maar een paar effecten ‘statistisch significant’ uit een veel langere reeks getoetste effecten, en bij die significante verschillen gaat het ook nog eens om kwantitatief kleine effecten die dus maar net ‘statistisch significant’ zijn. Daar komt nog bij dat de vergelijking wordt gemaakt met 2003, waarin er juist een dip was voor enkele van die ‘significant’ verbeterde rekenvaardigheden. Ik neig dus sterk naar de eindconclusie dat er geen statistisch significant positief verschil is, dus ook geen kwantitatief positief verschil.
Of leraren minder tijd aan het rekenonderwijs hebben besteed, is uit het SCP-rapport geenszins duidelijk (is die 20 minuten minder lestijd nu besteed aan individuele begeleiding van zwakke leerlingen?), niet statistisch getoetst, en niet ingevuld met concrete activiteiten, laat staan kwaliteitsbeoordeling van die activiteiten.
Desalniettemin is mijn verwachting van de kwaliteit van de rekenlessen van 2003 naar 2010 gemiddeld moet zijn verslechterd, omdat ervaren leraren met degeleijke rekenkennis het onderwijs hebben verlaten, en in het realistisch rekenen geschoolde (zowel in hun bo, als pabo) leraren zijn binnengekomen.
De eindconclusie: nauwelijks verschillen in prestatie
De gemiddelde effectgrootte voor afnamejaren 2003-2010 is 0,07 is tot stand gekomen door gemiddelde effectgrootten te middelen:
Zie blz 189, Staafdiagram: Effectgrootten voorafnamejaar (2010 t.o.v. 2003)
(de waarden heb ik zelf afgelezen van de grafiek)
1 Getallen en getalrelaties +0,01
2 Basisautomatismen optellen enaftrekken -0,09 !
3 Basisautomatismen vermenigvuldigenen delen (weggevallen in legenda) -0,04 !
4 Bewerkingen optellen en aftrekken+0,06
5 Bewerkingen vermenigvuldigen endelen +0,17
6 Bewerkingen complexere toepassingen+0,13
7 Meten en meetkunde +0,19
8 Tijd +0,07
9 Geld +0,06
10 Verhoudingen + 0,16
Over het middelden van deze effecten – elk met hetzelfde gewicht – kan je twisten. Volgens mij werd dit in de vorige rapporten niet gedaan. Maar dit is niet relevant. De allerlaatste conclusie van het rapport op blz. 189 luidt namelijk:
“De conclusie is dat er (…) nauwelijks verschillen in leerlingprestaties tussen de verschillende afnamejaren worden gevonden.
Het persbericht van het CITO getiteld “Scholieren iets beter in rekenen en wiskunde” is dan op zijn minst eigenaardig te noemen.