De rol van de lerarenopleidingen in relatie tot de rekentoetsen (en 1040)

25 Reacties

1. Beste Lonesome
   We schrijven 1995. In een gesprek met een onderwijzer van groep 8 komt een sommetje zoals jij aangeeft ter sprake. Het gaat over ‘slechte’ rekenmachientjes die in groep 8 worden gebruikt. Goedkoop prulleraria dat de rekenregels niet kent, je weet wel die regel van Meneer van Daele. ( Elke mobiele telefoon waar onze jeugd zo graag mee speelt en rekent kent trouwens die regel ook niet). Enfin op het ene machientje is de uitkomst van 2+3×4 het getal 20 en op het andere machientje komt 14 uit. Op mijn vraag hoe hij daar als onderwijzer mee omgaat is zijn antwoord eenvoudig. “we hebben daar met de collega’s een discussie over gehad en we hebben beslist dat allebei de uitkomsten goed zijn. We moeten niet zo gespannen doen over rekenregeltjes” ik citeer woordelijk. Maar niet alleen in het basisonderwijs ook in het VO gaan wiskundeleraren nogal gemakkelijk met regeltjes om. Voorbeeldje? Een mijner collega’s ga een leerling de helft van de punten voor een totaal verkeerde uitkomst van een algebraische opgave, reden om toch punten te geven. “Hij zat er niet zo ver naast” Als het nou nog was omdat de leerling door zijn berekening liet zien enig inzicht te hebben in het wiskundig probleem en enig inzicht in hoe een en ander opgelost zou kunnen worden, alla, maar zelfs dat was niet aanwezig. Het systeem dus van 8+7 is 14 “hoera, bijna juist je krijgt de helft van de punten. Nou weet je ondertussen waarom het SO cijfer van leerlingen zo veel hoger ligt dan het cijfer op het centraal examen.
   Hiermee wil ik aangeven dat goed rekenonderwijs begint bij de man of vrouw voor de klas, al dan niet bevoegd. Als de hand wordt gelicht met de simpelste regels dan zal zowel in het ‘oude rekenen’ als in het ‘realistisch rekenen’ de leerling uiteindelijk de mist ingaan.

   • De hand lichten
     met de simpelste regels. Bij wet is dit de goedgekeurde praktijk in het realistisch rekenonderwijs. 2/3=0.66. 30/2.37 is afgerond 12.

     Punten geven voor onzin? Den Haag geeft voortdurend het lichtend voorbeeld. Intern en extern.

     Dit alles neemt niet weg dat de twee punten die ik citeer serieus genomen moeten worden met respect voor de persoon die ze zo formuleert. In een discussie moet je vast stellen waarover je het oneens bent (dat verheldert, zoals ik onlangs weer geleerd heb). Een poging hiertoe over het afschaffen van het rekenen met breuken werd (na een open gesprek) door Koeno Gravemeijer afgekapt. Ik denk dat Ballering dat niet zal doen, maar geef hem de kans.

     • LIA roept op tot staken:
       www.lerareninactie.nl/nws11_driedaagse_staking

       Terecht, symboolpolitiek lost niets op.

   • Ook gij, Windows
     In Windows zit een rekenmachine, die zelfs beide antwoorden geeft.
     Menu Beeld – Standaard: 2+3*4=20
     Menu Beeld – Wetenschappelijk: 2+3*4=14.
     Windows volgt hier de gangbare trend: simpele rekenmachines kennen de prioriteitsregels niet, want ze hebben geen geheugen, en rekenen dus direct hat antwoord van elke tussenstap uit. De meer geavanceerde examplaren hebben een geheugen voor tussentijdse antwoorden en passen Van Dalen toe.
     (niet met ae en geen n, van Daele was die voetballer met het brilletje).
     Sommige telefoons hebben overigens wel een goede rekenmachine. Die met android hoef je alleen een kwartslag te draaien, verder zijn er rekenmachines als app verkrijgbaar.

   • Van Daale
     Meneer Van Daale Wacht Op Antwoord.
     Eerst vermenigvuldigen en delen en dan pas worteltrekken?
     Dan is 2 keer wortel13 dus gelijk aan wortel26
     De W moet voor V en D. Verder zijn de berekeningen paarsgewijs gelijkwaardig.
     “Meneer Van Daale Wacht Op Antwoord” is een hele slechte regel. Er klopt zowat niets van.
     Klaas Wilms

     • Van Daale wacht niet meer
       Ik heb al lange tijd begerepen dat die regel niet meer geldig is.
       Het was nu zo geworden dat vermenigvuldigen en delen voorrang kregen boven optellen en aftrekken.
       Waarbij de opgegeven volgorde maatgevend was geworden.
       Tenzij er haken worden gebruikt: wat binnen de haken stond was een heel eigen zelfstandige wereld die eerst om een oplossing vroeg.

       • Zo heb ik het ook geleerd, ja:
         1) Haakjes
         2) Machtsverheffen en worteltrekken
         3) Vermenigvuldigen en delen
         4) Optellen en aftrekken

         Waar bij gelijke prioriteit van links naar rechts gerekend werd.

         Volgens nl.wikipedia.org/wiki/Bewerkingsvolgorde is dat de ‘FORTRAN methode’. Ik verbaasde me in dat artikel overigens wel een beetje over ‘het minteken als unitaire operatie’, wat een lagere proriteit dan worteltrekken/machtsverheffen zou hebben.

         Dat lijkt me vreemd; ik lees het voorbeeld, -3^2, als (-3)^2, omdat mijns inziens de ‘-‘ hier geen bewerking is, maar een essentiële eigenschap van het getal, als zijnde -3 en niet +3. En dus niet als -(3^2). Naar mijn idee is het antwoord dus +9, en niet -9.

         Zit ik daar mis?

         • -3^2
           Ik denk dat 3^2+4^2=5^2, dus 5^2-3^2=4^2 😉

           Ook lastig (merk ik met uit studenten die in Marokko hun onderwijs hebben gehad) is de inconsistentie in letterrekenen in vergelijking met getalrekenen. Drie drie vierde (ik kan het hier in de editor niet goed als breuk schrijven) betekent 3 + 3/4. Schrijf je in letters algemeen ab/c, dan bedoel je niet a+b/c, maar a*b/c. Mijn Marokkaanse studenten interpreteren de 3 3/4 allemaal als 3×3/4, dus op de algebraïsche manier.

         • Drie drie vierde
           Ik schrijf dan ook nooit drie drie vierde op, maar altijd 15 vierde….

         • Het is me duidelijk 🙂
           Ik heb nog eens verder gekeken, en het is me nu duidelijk. Ik verwarde het gehele getal ‘-3’ met de operatie ‘-‘, het tegengesteld maken.

         • drie keer min drie
           Naast de binaire operator – (aftrekken) en de uniaire operator – (tegengestelde maken) kun je, zoals je in eerste instantie deed, het puur als een accent opvatten dat aangeeft dat het om het getal “mindrie” gaat. En dat dat getal mindrie dan blijkt gelijk te zijn aan -3, het tegengestelde van 3, geeft alleen maar aan hoe mooi de notaties zijn. We hadden ook kunnen afspreken dat we negatieve getallen gespiegeld schrijven, in een afzonderlijke kleur of met een rondje erboven op. Die notaties zijn dus onhandiger, juist omdat -3=mindrie.

           Dit lijkt wat geneuzel, maar in bepaalde kringen worden negatieve getallen ook daadwerkelijk anders genoteerd. Boekhouders (en economen?) noteren negatieve getallen met behulp van haakjes in plaats van een minteken. Waarom dat is, is me niet duidelijk. Ik durf ook niet te stellen dat de financiele crisis mede veroorzaakt is door de rare schrijfwijze van negatieve getallen van die jongens en meisjes.

         • Ja je zit mis
           Ja, je zit mis. De makkelijkste uitleg van de regels is dat je een polynoom op de makkelijkste wijze wilt schrijven: dus -2x^2+3x+5. Daarin is de eerste term -2 keer x^2 en niet (-2x)^2. Met een andere conventie wordt het lastig om polynomen met negatieve coefficienten op te schrijven en consistent te zijn met evaluatie van een polynoom……

         • schoonheid van de notatie
           Dat is toch een van de fraaie dingen van de wiskunde: de keuze van de notatie en de definities van de begrippen: het is eigenlijk nooit “zomaar”, of “ach … we moesten iets kiezen.”
           Dat maakt het veranderen van notaties, procedures of definities om redenen van didactiek of omdat rekenmachines het tegenwoordig nu eenmaal anders doen ook zo dubieus.

         • Regels?
           Als er regels zijn, waar kan ik die dan vinden? Ik krijg sterk de indruk dat iedereen maar wat doet, dat dat onder wiskundigen goed gaat, en dat het in het onderwijs ongelukken oplevert (en dan meestal ten nadele van de leerlingen).

           Ik was verbluft door 6:3×2 (voorbeeld van Karin den Heijer in een LinkedIn discussie). Ik kan mij niet herinneren ooit een dergelijke opgave te hebben gehad, maar ja, ik heb van Hans Freudenthal geleerd dat rekenopgaven in het onderwijs zorgvuldig langs dit type probleem heen gaan.

           Bestaat er een internationaal geaccordeerde code voor dit soort notatie- en interpretatiekwesties?

           Op nationaal niveau speelt altijd mee dat er taalverschillen zijn tussen de diverse culturele groepen. De leerlingen met een Marokkaanse achtergrond, hierboven genoemd, zijn daar een voorbeeld van. De taal in de reken- en wiskundemethoden is onveranderlijk die van de maatschappelijke culturele bovenlaag; in zekere zin is dat een belangrijke vorm van codificeren: om misverstanden zoveel mogelijk uit te sluiten, spreken we over wiskundige zaken in ABN. Ik ken nauwelijks literatuur die hier rechtstreeks op in gaat. De uitzondering;

           Eleanor Wilson Orr (1987). Twice as Less. Does Black English Stand between Black Students and Success in Math and Science? W.W. Norton & Company.

           En dan hebben we het alleen over de wiskunde zelf. Zodra er redactiesommen aan te pas komen, omen er extra taalproblemen bij. Er zijn de laatste jaren een aantal proefschriften vededigd op partijdigheid van bijvoorbeeld de rekenopgaven in de Cito Eindtoets Basisonderwijs, met sussende conclusies. Ik geloof daar niets van.

         • Ben,
           Je was verbluft door 6:3×2. Ik geloof niet dat men tot een consensus gaat komen over de voorrang hier. Volgens Van Dalen is dit 6:6=1, dacht ik althans. Kennelijk lezen veel mensen dit toch als 2×2=4. Wiskundige of niet. Een wiskundige zal dit echter nooit zo schrijven vermoed ik. Die realiseert zich dat de notatie aan helderheid te wensen overlaat en zet haakjes om aan te geven wat hij/zij bedoelt. Dus

           (6:3)x2=2×2=4
           6:(3×2)=6:6=1

           Wiskundigen gebruiken het deelteken ook liever niet. In een notatie met breuken (maar ja, die zijn door Koeno en consorten verdonkeremaand) is het probleem ook weg. In pretty print (lukt niet helmaal, de 6 schuift automatisch naar links want de spaties worden niet herkend):

           6
           ——- = 1
           3 x 2

           of

           6
           — x 2 = 4
           3

         • spatie
            
           de code voor een spatie is ene ampersand & gevolgd door nbsp;

           De regel wit waarmee deze post begint, heb ik geforceerd door deze code.

           Alle gekheid op een Meneer van Dale: dank voor de heldere regel dat je bij het opschrijven van je formules gewoon helder moet zijn.

           Ik breid die norm dus ook uit tot de ontwerpers van toets- en examenvragen, voorzover ze dit besef nog niet mochten hebben.

         • 6:3×2
           Dat moet je dus ook nooit zo schrijven. Bedoel je 6 gedeeld door (3 keer 2) dan schrijf je dat als een breuk met 6 in de teller en 3×2 in noemer. Bedoel je (6 gedeeld door 3) keer 2 dan schrijf je dat als een breuk met 6 in de teller en 3 in de noemer keer 2. Alleen sadisten schrijven 6:3×2 (en mensen die een discussie over notatieregels willen entameren).

           Voor zover ik weet is er geen ‘notatie bijbel’ die voorschrijft welke notaties gebruikt moeten worden, dit is gewoon iets dat je gaandeweg leert. Zo maken veel eerstejaars geen onderscheid tussen f en f(x) waar f een funcie is. Op den duur leren ze dat wel te doen. Notaties is iets dat tijdens de koffie tussen wiskundigen overigens regelmatig ter sprake komt….

         • Wolfram
           Ik krijg het volgende antwoord toegezonden:

           Zie bijvoorbeeld Basisboek Wiskunde p. 31 voor wat de laatste tientallen jaren gebruikelijk is aan prioriteitsregels. Het gaat dan alleen maar over optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Bij de rest (machtsverheffen en worteltrekken) is er in de praktijk nooit een probleem.

           De regels zijn

           a. Optellen en aftrekken geschieden in de volgorde waarin deze bewerkingen
           voorkomen, van links naar rechts.
           b. Vermenigvuldigen en delen geschieden in de volgorde waarin deze bewerkingen
           voorkomen, van links naar rechts.
           c. Vermenigvuldigen en delen hebben voorrang boven optellen en aftrekken.

           Meneer Van Dalen is al lang geleden begraven. Maar in mijn jeugd moest ik nog wel met zijn regels werken. Toen was dus 8 : 2 x 4 = 1. Nu is het 16. En vroeger was 8 – 2 + 4 = 2. Nu is het 10.

           Goede softwareprogramma’s doen het ook op de bovenstaande, ‘moderne’ wijze, bijvoorbeeld WolframAlpha. (Dat is een wonderbaarlijk goed programma. Het geeft zelfs antwoord op de vraag “Bestaat God?” En vrijwel alle wiskundige vragen die in het venster passen, worden goed beantwoord. Gratis en voor niets.)

           Er laait overigens over dit soort zaken steeds weer opnieuw discussie op.

           Onderaan bladzijde 31 van BW staan ook nog de volgende behartenswaardige opmerkingen:

           Gebruik haakjes in alle gevallen waarin misverstanden omtrent de volgorde
           van het uitvoeren van algebraïsche bewerkingen zouden kunnen ontstaan!

           Vuistregel: beter te veel haakjes gebruiken dan te weinig!

         • En wanneer
           was de uitvaart van Meneer van Daalen dan ongeveer?
           Wie heeft de wiskundige regels dan zomaar overboord gegooid?
           En hoeveel is dan eigenlijk 8:2X4 is het 1 of is het 16?
           Wat doen we met alle rekenmachientjes die 1 aangeven als het 16 is en omgekeerd?
           Er wordt een beetje lacherig over gedaan maar mijns inziens is dit fundamenteel immers welke wiskundige gooit zomaar een aantal regels overboord, in dit geval wereldwijde afspraken, Het FI? de lerarenopleiding? Einstein?
           Gemakkelijk is het wel, de regels die je niet aanstaan, of waar je moe van wordt omdat je moet nadenken, die schaffen we gewoon af.
           Moet je eens buiten Nederland gaan vertellen dat van Daale( met of zonder bril) begraven is.

         • Prioriteitsregels
           Lees Wikipedia, nl.wikipedia.org/wiki/Bewerkingsvolgorde .

           Vroeger was 12:4×3=1

           De regel ‘Mijnheer van Dale Wacht Op Antwoord’ is nu vervangen door:
           Hé, Mw. v/d Aorta!.

           De H slaat op haakjes (en de é slaat nergens op).
           Deze regel geeft ook de gelijkwaardigheid weer: M en W, V en D en A en O zijn gelijkwaardig.

           Het minteken als unaire operatie heeft een lagere prioriteit dan machtsverheffen, zodat -3² = -9 .

         • Heb dus
           mijn rekenmachine nu toch maar op de vuilhoop gedumpt.

         • Interessante discussie hierover
           Een interessante discussie hierover is te vinden op het forum van de nvvw, de nederlandse vereniging van wiskundeleraren.

         • De geschiedenis herhaalt zich
           In die discussie benut Hessel Pot zijn rijke historische collectie rekenboeken. Uiteindelijk, suggereert hij, is het misschien koopmansrekenen dat in korte notatie opgeschreven wordt, dat vraagt om dubieuze voorrangsregels zoals Meneer van Dalen wacht op antwoord. Royaal met haakjes werken is natuurlijk veel beter, maar oogt minder, en levert ingewikkelder zetwerk op . . . .

           Vele uren, dagen, maanden programmeerwerk hebben me overgevoelig gemaakt voor prioriteitsregels. In Pascal, Java, en andere programmeertalen zijn ze glashelder, en heb je niet de keuze om je er niet aan te houden. In andere contexten kom je wel eens voor verrassingen te staan.

2. Moeten wij het eens zijn?
   Moeten wij het hiermee eens zijn of juist niet? En met elkaar?

   Voor stelling 1 kun je net zo goed het tegendeel beweren: Zwakke leerlingen zijn gebaat bij regels en procedures, dat geeft ze houvast en zekerheid. Als ze elke opgave op hun eigen manier op moeten lossen verslaan ze erin.

   Stelling 2 is ongetwijfeld waar: Iemand (Frans Ballering) noemt zijn overtuiging, en zonder dat het tegendeel blijkt mogen we aannemen dat hij daarin de waarheid spreekt.
   Of de inhoud van die overtuiging juist is, staat dan nog te bezien. Wat moet ik mij voorstellen bij de uitspaak dat “wij zelf het inzicht bij rekenprocedures hebben ontwikkeld”? Ik kan mij er weinig bij voorstellen, en het argument is totaal niet overtuigend, wij doen niet noodzakelijkerwijs alles waar wij de intellectuele mogelijkheid toe hebben.

   Consensus met betrekking tot realistisch rekenen zal overigens erg moeilijk zijn, tenzij de gelovigen van hun geloof vallen.

3. Twee uitspraken
   Uitspraak 1) van Ballering — ik heb nog maar even nagekeken of hij dit inderdaad letterlijk zo heeft opgeschreven, en dat heeft hij — is nonsens. Ik hoef dat hopelijk niet uit te leggen. Menselijk gedrag is in hoge mate regelgestuurd, zwakke rekenleerling of niet.

   Uitspraak 2) kan een misvatting zijn die ontstaat bij in hoge mate geautomatiseerde vaardigheden. Wat in hoge mate is geautomatiseerd, is om die reden ook niet meer te begrijpen, maar achteraf kun je er als intellectueel altijd wel een redenering aan vastplakken. Natuurlijk worden bij goede rekenleraren de standaard-algoritmen op begripvolle wijze geleerd. Anders gaat het eigenlijk ook niet, ben ik bang. In ieder geval niet wanneer een staartdeling met grotere getallen moet worden gemaakt: de leerling die leeft op een rantsoen van trucjes, gaat dat niet redden.

   Ben Wilbrink zal er vast wel de nodige literatuur bij weten, maar zoals ik het nu zie is dit gewoon cognitieve psychologie.