Begrijpen of niet begrijpen, is dat de vraag?

3 december 2009 Gerard Verhoef blogs 24

Ik las een uitspraak van de wiskundige John von Neumann:
“In mathematics you don’t understand things. You just get used to them.”
Een aardige gedachte in de context van het realistisch rekenen.

24 Reacties

  1. v. Neumann
    Ik begrijp die uitspraak niet. Voor mij is wiskunde een begripsvak bij uitstek. Maar misschien komt dat omdat ik minder met fundamentele wiskunde dan met toegepaste wiskunde bezig was. Of speelt von Neumann gewoon een flauw woordspelletje met het woord ‘understand’?
    Inderdaad wel leuk als wapen in de strijd tegen de de RR-clan, maar ik gebruik toch liever uitspraken die ik zelf ook snap.

    • Toegepaste wiskunde
      von Neumann was degene die het gerommel van natuurkundigen dat “quantum-fysica” heet te voorzien van een stevig wiskundig fundament. Tot de dag van vandaag is het motto “het werkt”; maar niemand snapt volledig waarom het werkt. Einstein zei daarover “God dobbelt niet”. Dat is de achtergrond van deze uitspraak.
      von Neumann zei terecht dat hij het (ook) niet snapt. Maar hij heeft wel een prachtig stuk wiskunde ontwikkeld.

      • Einstein was daar inderdaad
        Einstein was daar inderdaad van overtuigd, zoals Gerard ’t Hooft dat ook nog steeds is. Maar de meesten zijn ervan overtuigd dat God wel degelijk dobbelt: en.wikipedia.org/wiki/Bell%27s_theorem

        Ik heb ’t Hooft een aantal jaren geleden kunnen vragen wat hij van Bell’s Theorem vond (in het vragenuurtje na zijn Paradisolezing). Ik vond z’n uitleg meer gevoelsmatig dan inhoudelijk, maar ja, hij heeft een Nobelprijs en ik niet :-).

      • Dobbelaars
        In mijn vorige opmerking moet je -heet- in de eerste zin aanvullen tot -heet heeft-.

        Dobbelen en natuurkunde zijn prachtige bezigheden en ik sta telkens weer versteld van het vermogen van de wiskunde om dat in abstracte technieken en exotische formules te vangen. Het is doodzonde dat we hier in het onderwijs niet meer over kunnen en mogen vertellen. De kaalslag in het wiskunde- en natuurkunde- programma zorgt voor analfabeten in de exacte taal. Niet alleen boeken in vreemde talen zijn een probleem maar ook boeken waarin formules voorkomen. Kennis over de woorden, de begrippen, de symbolen, de methoden verdwijnt. Plaatjes zijn het surrogaat. Ongecijferd en ongeletterd sturen we onze leerlingen de wereld in.

        En de flaphoed met zijn meiden hoor je daar niet over. Die dobbelen verder met het onderwijs.

    • Wat is begrijpen?
      Het heeft me altijd verbaasd hoe gemakkelijk mensen omspringen met het woord “begrijpen”. Hoe bepaal je op een objectieve manier of een ander iets begrijpt? En wat bedoel je daar dan mee?

      Volgens mij is begrip iets subjectiefs: een aangenaam gevoel dat je krijgt als je iets onder de knie denkt te hebben. Prachtig, en iets dat elke leraar ook graag bij elke leerling teweeg wil brengen.

      Dat gevoel kan echter ook volstrekt onterecht zijn. Ik heb talloze studenten op mijn kamer gehad die na een zware onvoldoende voor een tentamen zeiden dat ze daar niets van snapten, omdat ze de stof toch helemaal begrepen hadden.

      Je kunt natuurlijk in veel gevallen wél vaststellen dat iemand iets NIET begrijpt omdat hij aantoonbare onzin beweert of bepaalde tentamenvragen niet kan beantwoorden.

      In het licht van het bovenstaande wordt de uitspraak van Von Neumann misschien iets “begrijpelijker”.

      • Gedresseerde aap
        Jan van de Craats schrijft: “Dat gevoel kan echter ook volstrekt onterecht zijn. Ik heb talloze studenten op mijn kamer gehad die na een zware onvoldoende voor een tentamen zeiden dat ze daar niets van snapten, omdat ze de stof toch helemaal begrepen hadden.”

        Die studenten ken ik ……. “Hoe kan dat nou, ik heb er úren voor geleerd!”. Meestal hebben ze dan in die uren allerlei eerder gestelde toetsvragen uit hun hoofd geleerd in plaats van structuren van het vak te leren. Wij spreken dan van een ‘gedresseerde aap’ die bepaalde kunstjes kan. Maar draai de volgorde van de bewerkingen (ik geef bedrijfseconomie waar veel rekenwerk aan te pas komt) eens om en de aap is het spoor bijster. Dit fenomeen grijpt overigens in onze ervaring in de afgelopen jaren in hoog tempo om zich heen. En dat zijn dan de leerlingen die in het VO hebben ‘leren leren’ dankzij het Studiehuis?!

        • ‘Nou begrijp ik het’
          Een herinnering.
          Een leerling begrijpt een bepaalde opgave niet en ik leg (op het bord) de opgave uit. Ondertussen krijgt ze ook uitleg van haar buurvrouw. Dat gaat, met behulp van de rekenmachine, op de volgende manier: nou kijk, dan druk je zus en dan druk je zo en dan komt ‘het’ eruit. Haar verheugde reaktie is “nou snap ik het” en ik krijg te horen “U legt het veel te moeilijk uit”.

        • leerinversie
          Ik herinner mij dat een dochter van mij -ik geloof dat ze toen in de brugklas zat- aan het leren was door vragen over de inhoud van een tekst een voor een af te werken door de antwoorden op te zoeken in de tekst die ze voorafgaand aan het beantwoorden van de vragen nog niet gelezen had. Ik heb haar er gelukkig op kunnen wijzen dat het de bedoeling en ook beter was om eerst de tekst op een zodanige manier door te werken dat ze in principe de vragen kon beantwoorden zonder in de tekst naar het antwoord te zoeken. Als de aanwezigheid van vragen over een tekst er toe leidt dat leerlingen niet meer de moeite nemen om een tekst te bestuderen kun je ze beter de opdracht geven om de tekst zonder vragen erbij te bestuderen. Als ze dan voor een proefwerk een zware onvoldoende halen leren ze vanzelf hoe ze een tekst wel moeten bestuderen.
          Seger Weehuizen

          • Een karikatuur?
            Tegenwoordig bestaan er voor mijn vak: tekstboeken en opgavenboeken en uitwerkingenboeken. “Slim” studeren houdt voor veel leerlingen het volgende in:
            Je pakt het uitwerkingenboek en kijkt of je dat een beetje snapt en bij welke opgave dat hoort. Als je iets niet snapt vraag je eerst rondom je heen en desnoods de leraar zelf. Als de leraar het zelf ook niet snapt kan hij zijn vragen stellen op een internetsite die hem een toelichting op de uitwerkingen van de opgaven bij het tekstboek geeft. En de rest van de tijd wordt gevuld met sociale bezigheden en wat geklooi op internet. En de proefwerken mag je eindeloos herkansen dus daar komt vanzelf een voldoende uit.

      • Jan van de Craats is een bevoorrecht docent…
        “Ik heb talloze studenten op mijn kamer gehad… ”

        ….die heeft een eigen kamer:-)

  2. Geldt ook voor natuurkunde
    Klassieke natuurkunde is goed te begrijpen.

    Maar bij quantummechanica liggen de zaken anders. Je moet niet proberen het vak te begrijpen, maar proberen de opgaven te maken. Pas na maanden ontstaat wat inzicht, of beter gezegd je krijgt gevoel hoe je een probleem moet aanpakken.
    Echt begrijpen kun je quantummechanica niet.

  3. In de natuurkunde is het
    In de natuurkunde is het toch eerder regel dan uitzondering dat er eerst empirisch een bepaald verband werd/wordt vastgesteld (= formule) en dat pas dan werd/wordt gezocht naar een verklaring voor dit verband?

    Je moet wiskunde inderdaad niet begrijpen maar het is oh zo fijn wanneer je grote delen van de wiskunde wel begrijpt. Ook de slimste leerlingen/studenten begrijpen niet alles (ik heb bijv. nooit geleerd hoe Pythagoras zijn fameuze stelling heeft ontwikkeld) maar zij begrijpen wel veel meer.
    Wanneer je iets van wiskunde nog niet begrijpt dan moet je in ieder geval alvast oefenen zodat je automatismen aankweekt, hopelijk komt het inzicht vanzelf: zo niet, dan beheers je in ieder geval de automatismen om er mee te kunnen werken.

    Wanneer er werd uitgelegd hoe je 1/x differentiëert kon ik het verhaal prima volgen, wanneer ik het echter toepas dan hoef ik gelukkig niet steeds heel dat verhaal te herhalen, ik weet gewoon dat het ln x wordt en ik weet dat ik zelf ooit heb gezien dat dit juist is.

    Net als in het rekenen gaat het in Nederland hier mis met het wiskunde-onderwijs: leerlingen leren te weinig automatismen aan doordat de wiskunde te weinig abstract is. Gevolg: de zwakkere leerlingen begrijpen het niet EN kunnen er niet mee werken. De sterkere leerlingen maken trager vooruitgang dan nodig is.
    Arm Nederland.
    Zou dit mede verklaren waarom in Vlaanderen wel zo’n 50% van de wiskunde-studenten een vrouw is?
    Het is natuurlijk hartstikke leuk en interessant om zo nu en dan eens de wiskunde op iets toe te passen maar dit dient m.i. pas te gebeuren nadat er een stevig fundament is gelegd.

    • Integreren en Pythagoras
      Het integreren van 1/x levert ln|x| op (niet de absolute waarde vergeten), niet het differentieren van 1/x (dat levert -1/x^2 op).

      Pythagoras heeft de stelling die naar hem vernoemd is niet bedacht (of in ieder geval: hij was niet de eerste die hem bedacht). Waarschijnlijk de babyloniers en zeer waarschijnlijk de indiers waren hem voor.

      • Wiskunde terug naar 10.000 jaar geleden
        De Babyloniërs en de Indiërs wisten iets wat wij nu een vermoeden zouden noemen. Denk aan het vermoeden van Fermat dat onlangs tot een stelling gepromoveerd is. (Of het nu de stelling van Fermat geworden is om vernoemd wordt naar diegene die het vermoeden van Fermat bevestigd (bewezen) heeft weet ik niet). De Babyloniërs en de Indiërs deden aan wat wij tegenwoordig aan de jeugd als realistische wiskunde onderwijzen. (Er zijn of waren leerboeken wiskunde voor de onderbouw VWO die de Stelling van Pythagoras niet bewezen maar in experimenten lieten ontdekken alsof het om natuurkunde ging). De Babyloniërs maakten van een touw met een eindige lengte maar geen uiteinden en voorzien van 12 aequidistante knopen gebruik om in de bouw rechte hoeken te controleren.
        Seger Weehuizen

        • Bewijs
          Wat als een bewijs telt is gedurende de afgelopen eeuwen veranderd.

          Zo ongeveer al het werk van Newton, Gauss en Euler zouden we nu heuristisch noemen. Ze geven niet wat nu voor een bewijs doorgaat. Na Euclides is wat voor een bewijs doorgaat weer minder stringent geworden.

          In Euclides staat iets wat we nu wel als een bewijs voor de stelling van Pythagoras zouden zien, maar of Pythagoras dat bewijs al had of dit dat van later datum is weten we niet zeker.

    • Voordat
      je in de natuurkunde gaat experimenteren is het heel verstandig om eerst naar de theorie te kijken. Dan weet je waar je op moet letten en welke grootheden je moet meten. Theorie is de leidraad en de praktijk ondersteunt die theorie (soms niet).
      Het Higgs deeltje waar ze in Geneve naar gaan zoeken is een volledig theoretisch bedacht ding en er zijn er veel natuurkundigen die hopen dat het niet wordt gevonden. Dan kunnen ze weer aan de slag met de theorie.

      • In de natuurkunde triggert het experiment een theorie
        Wanneer ik de kranten goed begrepen heb en zij mij een kloppend verhaal hebben voorget zocht Higgs naar een verklaring voor een gedrag van elementaire deeltjes waarbij fotonen plotseling een massa leken te krijgen. Eerst was er dus het experiment en daarna pas de theorie.
        Seger Weehuizen

        • Peter Higgs,
          bedacht een theoretische verklaring voor het feit dat sommige deeltjes (fotonen b.v) géén massa hebben en andere deeltjes (elektronen b.v) wel. Ofwel waarom sommige deeltjes met lichtsnelheid bewegen en andere dat nooit halen.
          Die theoretische verklaring zocht hij in een denkbeeldig Higgs-veld dat via Higgs-bosonen energie/massa uitwisselt met massa-deeltjes. Hoe intensiever de interactie, hoe zwaarder het deeltje. De theorie (het standaard model) kon hij daarmee aanvullen maar dat veld en die deeltjes zijn nog niet gevonden.
          Een duidelijk geval van éérst de hypothese, dan de toets.

          Er is een vreemde parallel met zo’n honderd jaar geleden. Toen was er een uitgebreide discussie over de ‘ether’. Die hypothese is volledig overboord gegaan door proeven en theoretisch werk van vooral Einstein. En nu zitten we opeens weer met een gelijksoortig idee van het Higgs-veld.

  4. Von Neumann
    Wat ik ervan begrijp is dat in het realistisch rekenen het begrip “begrijpen”(volgt u het nog) wordt opgevat alls een pedagogisch basisconcept waarop de hele didaktiek is afgestemd. Maar waar hebben we het eigenlijk over ? In deze context vind ik de uitspraak van Von Neumann verhelderend. Misschien is hij te apodictisch maar de strekking sluit wel aan bij wat ik, als niet wiskundige, zo ongeveer over deze materie denk.

  6. Hoe te lezen
    Misschien lezen wij de uitspraak van Von Neumann wel verkeerd. Iedereen hier vat “things” op als de wiskunde zelf. Zou Neumann niet bedoeld kunnen hebben dat je met wiskunde geen dingen begrijpt, omdat wiskunde in principe nergens over gaat, alleen over de wiskunde zelf? En niet over de dingen om ons heen?
    Het is aan ons om wiskundige modellen op allerlei verschijnselen in de natuurkunde, economie, etc. los te laten, maar het model brengt alleen structuur aan, het verklaart niets.

    • Things
      Interessante interpretatie maar hoe moet ik dan het vervolg “You just get used to them (!)” opvatten ? Waar moet ik aan gewend raken: aan de dingen om mij heen of aan de wiskundige modellen ?
      Hoe dan ook, 89 haalt deze uitspraak aan in verband met de methode van het realistisch rekenen, waarin een basisgedachte is dat vanuit didactisch oogpunt begrijpen voorop moet staan en “dom oefenen”, sommetjes maken zonder context, tafels leren etc. als minder wenselijk worden gezien. Dit klinkt aannemelijk, ware het niet dat de vaardigheid van het rekenen de laatste decennia achteruit is gehold en dat daarover nu flink geklaagd wordt.
      Didactisch gezien is daarom de vraag: wat is de betekenis en de plaats van begrijpen en inzicht in leerprocessen, niet alleen bij rekenen. Wordt niet in een te vroeg stadium in de hedendaagse didactiek een te grote nadruk in een te vroeg stadium hierop gelegd en waar hebben we het precies over ? Moeten we de schroom t.o.v. domweg leren, het gebruik van het geheugen zonder nu weer in het andere uiterste te vervallen niet wat meer van ons afschudden als we naar de praktische resultaten van nu kijken ? Dit zijn associaties die de uitspraak van Von Neumann bij mij opriepen. Maar het kan ook best zijn dat ik hem niet helemaal begrijp. In ieder geval zijn meerdere interpretaties kennelijk mogelijk.

      • benutten van kans en groei
        Als we letten op en rekening houden met de leeftijd waarop kinderen het meest ontvankelijk zijn om bepaalde dingen te leren (denk daarbij aan de periode om te leren lezen, periode dat jeugd hun geheugen kunnen scherpen) dan constateer ik dat we eerst moeten doen en dit niet voorbij laten gaan. Maar misschien ben ik te simpel van geest en erg praktisch ingesteld?
        Lezen moeten we zien te bevorderen als kinderen daartoe de rijpheid hebben en zo ook met rekenen enz.

Reacties zijn gesloten.