Aanvulling:
Als bijlage nu zowel het artikel waaraan gerefereerd wordt (dank willem smit) als het artikel dat specifiek gaat over een vergelijkbaar onderzoek, maar nu bij elfjarigen, dat te vinden is op de website van de Cognitive Science Society
Vandaag in Trouw een artikel over een onderzoek in Amerika waaruit blijkt dat contexten in het geheel niet helpen bij het leren van wiskunde.
In Amerika hebben ze het simpelweg even onderzocht. En de uitkomsten zijn voor mij geen enkele verrassing. Iedereen die kinderen rekenen/wiskunde heeft proberen te leren volgens de realistische methode weet in welke doolhoven die kinderen terecht komen.
De reactie van Jan van Maanen is onbegrijpelijk. Hij zegt dat er in dit onderzoek met abstracties iets bedoeld wordt dat het FI zelf heeft geïntroduceerd. Een redenering van drie maal in de rondte en van hupsasa.
Ik ken het onderzoek zelf niet. Ben wel benieuwd.
Wiskundeleerling niets wijzer van voorbeelden
Psychologen pleiten voor abstract onderwijs
Joep Engels, redactie wetenschap
Wiskunde wordt vaak met voorbeelden uitgelegd. Niet doen, zeggen Amerikaanse psychologen. Daar leert een leerling niets van.
Wiskunde geldt als moeilijk en abstract. Daarom krijgen leerlingen het vak steeds meer voorgeschoteld aan de hand van praktische toepassingen. Concrete voorbeelden leiden tot een beter begrip, is de gedachte. „Het geloof in het gebruik van voorbeelden is diep geworteld”, zeggen psychologen van de universiteit van Ohio. „Het is nooit ter discussie gesteld of onderzocht.”
Tot vandaag dan. De psychologen schrijven in Science dat ze de proef op de som hebben genomen. Met een opvallende conclusie: leerlingen die een wiskundig principe krijgen geleerd met praktische voorbeelden, weten niet hoe ze dat principe moeten toepassen op nieuwe situaties. Als hun het abstracte idee zelf wordt onderwezen, beheersen ze die toepassing veel beter.
De psychologen leerden hun studenten bijvoorbeeld bepaalde wiskundige rekenregels. Sommige studenten gingen daarvoor aan de slag met pizzapunten, andere met kannen water en een derde groep moest het met de abstracte wiskunde doen. Na enige oefening hadden ze allemaal de stof onder de knie en slaagden ze voor de testen.
Kun je het ene voorbeeld toepassen op het andere? Totdat ze hun verworven kennis op een nieuw terrein moesten toepassen. De studenten hadden geen idee wat de pizza’s met de waterkannen te maken hadden en gokten maar wat. Ook als ze verschillende voorbeelden hadden gehad, zei hun dat niets over een nieuwe toepassing. Zelfs niet als hun was gevraagd op de overeenkomsten tussen de voorbeelden te letten.
De studenten die abstracte lessen hadden gehad, wisten wel raad met nieuwe toepassingen. Ze waren er ook beter in dan de groep die eerst voorbeelden had gekregen en daarna abstracte regels. Kennelijk leidt al die informatie uit het voorbeeld alleen maar af.
De uitkomsten verbazen Jan van der Craats niets. Hij is hoogleraar wiskunde-onderwijs aan de Open Universiteit. „Bij het werken met voorbeelden ga je ervan uit dat de leerling zelf de theorie ontdekt. Maar dat werkt niet; dat is maar enkelen gegeven.”
De resultaten van het onderzoek sluiten goed aan bij zijn eigen ervaringen, zegt hij. „Je kunt altijd wel kanttekeningen plaatsen, maar dit onderzoek zou voorstanders van het realistisch onderwijs stof tot nadenken moeten geven.”
Ook Jan van Maanen, hoogleraar-directeur van het Freudenthal Instituut, dat het wiskunde-onderwijs onderzoekt, vindt de studie een interessante aanleiding voor verdere discussie, maar dat wil niet zeggen dat wat hem betreft de lessen op de schop moeten. „In deze studie bedoelen ze met abstracte begrippen en regels zaken die ze uit de werkelijkheid hebben veralgemeniseerd, geabstraheerd. Daar heb ik niets op tegen. Veel schoolboeken blijven naar mijn idee erg veel in concrete voorbeelden hangen.”
Maar voor veel abstracte begrippen uit de wiskunde, zoals functies en verzamelingen, geldt volgens hem dat de meeste leerlingen er eerst een concreet beeld van moeten hebben voordat ze het zich eigen kunnen maken. Van Maanen: „Als de lessen daarin meteen abstract zijn, blijft het voor veel leerlingen een soort geheimtaal en haken ze af.”
Voorbeelden
Het is schandelijk dat van Maanen nu opeens de schoolboeken er van beschuldigd dat ze teveel in concrete voorbeelden blijven hangen. Dat is nou juist het gevolg van de leer die het FI en haar adepten tot in den treure hebben verkondigd. En dan nu opeens je handen in onschuld wassen en beweren dat het aan de boeken, aan de gebruikers en weet ik veel wat nog meer ligt. Dit is een patroon dat veel verkondigers van de ware leer volgen. Als het deugt ligt het aan de leer, als het niet deugt ligt het aan een verkeerde toepassing van de leer. Het FI heeft haar geloofwaardigheid geheel verspeeld.
Zie hier.
Abstracties vormen vs. abstracties gebruiken
Inderdaad nauwelijks verrassend. Wiskunde-onderwijs met behulp van voorbeelden laat het moeilijkste aan kinderen zelf over: het vormen van geschikte abstracte ideeën waarmee ze niet alleen het voorbeeld, maar ook verwante problemen kunnen oplossen. De stap naar verwante problemen, oftewel ’transfer van vaardigheden’, blijkt nauwelijks spontaan door kinderen te worden gezet. Geen wonder. Het is het moeilijkste aspect van wiskunde. Het is de meeste kinderen dan ook niet gegeven spontaan geschikte abstracties te vormen.
Wat kinderen wel kunnen is die abstracties, als ze door een docent worden aangeboden, gebruiken. Wat dat betreft zijn kinderen gewoon mensen. Het is een misvatting te denken dat ze niet abstract zouden kunnen denken.
Het onderzoek
Bij de meeste mensen zal de volgende link naar het artikel waarschijnlijk niet werken vanwege het feit dat science geld wil zien…
De onderzoekers deden 4 experimenten.
De experimenten werden uitgevoerd met universitaire studenten, maar de onderzoekers schrijven dat ze in een ander onderzoek met 11-jarigen hetzelfde vonden.
Zo simpel kan het zijn.
Dat lijkt toch een uitermate eenvoudig onderzoek. En het levert volslagen verklaarbare resultaten. Hoe kan het zijn dat een dergelijk onderzoek nooit eerder in Nederland is gedaan (retorische vraag)?
Natuurlijk zien kinderen wel overeenkomsten tussen stukken pizza en limonadeglazen. Maar een beetje verstandig kind denkt dan aan een feestje en niet aan breuken, toch?
Alleen die didactici die willen afdalen naar het niveau van dat kind, die willen aansluiten bij de zogenaamde belevingswereld, die denken aan de hurkendidactiek constructen als realistische breuken.
Replicatie
Het gevonden effect kan in principe komen door de specifieke materialen die gebruikt zijn in dit onderzoek. Voordat we al te boude conclusies trekken is het belangrijk dat dit onderzoek met andere materialen en andere proefpersonen nog eens gedaan wordt. Misschien is dit type onderzoek al eerder gedaan (al wordt er in het artikel niet naar zulk onderzoek verwezen).
De wiskundigen van bon
…hebben hiermee het gelijk aan hun kant. Ik moet zeggen, 1945, dat ik je het van harte gun: je hebt dit van het begin af aan al gezegd, en het begint er naar uit te zien dat je volmondig gelijk krijgt. Laat ik het zo zeggen: wat moet iemand nu nog doen om te verdedigen dat al die plaatjesboeken voor moderne wiskunde toch beter zijn dan de boeken waarin hoogstens een grafiek staat (met een rode lijn- dat herinner ik me nog goed, het gebruik van rode en zwarte inkt)? Een felicitatie waard!
Jan van de Craats
Dank voor je aardige woorden, en ik neem ze met eer en in dank graag aan. Maar als er iemand is die op uiterst heldere manier aan de wieg heeft gestaan van alle mogelijke successen op dit gebied, dan is het Prof van de Craats.
Hij heeft het Nederlandse reken/wiskunde onderwijs van de laatste 30 jaar uitermate scherp geanalyseerd, heeft daarover buitengewoon helder en zelfs met humor gecommuniceerd en is ook nog in staat geweest om zijn plaats te bevechten binnen de gremia waar er over wiskundeonderwijs wordt besloten. Dat laatste lijkt me persoonlijk nog het zwaarste: iedere keer opnieuw in een omgeving waar je verre in de minderheid bent, toch je verhaal houden en zodoende je gelijk opeisen omdat niemand er meer omheen kan.
Science – wiskunde, realistisch rekenen
Ik heb h.t. geen toegang tot Science, maar bij het lezen van het excerpt (hierboven) dringt zich een vraag op :
om welke leeftijden gaat het hier ?
M.i. cruciaal voor het beoordelen van de proeven.
Er is, zoals we weten, een significant verschil in het absorptie/accomodatie/verwerkings-vermogen van kinderen m.b.t. abstracties, naarmate hun leeftijd vordert.
Ik zou verwachten dat de auteurs in Science dit verantwoorden in hun resultaten van onderzoek ?
maarten
Dat staat in de laatste paar regels.
Dit onderzoek was met universitaire studenten, maar bij elfjarigen vonden ze hetzelfde.
laatste paar regels ?
Ok, thnx.
ref : (onderwerp) dat staat in de laatste paar regels – ingediend door Marco_1964 op Vr, 25/04/2008 – 13:07 –
(cit.) dit onderzoek was met universitaire studenten, maar bij elfjarigen vonden ze hetzelfde (uq.).
In het Trouw artikel staat “studenten”, whatever that means (presumably undergraduates). Geen verwijzing naar hun studie richting, grades, jaar.
Amerikaanse scholieren (high shcool, college) en -studenten kennende, verbaast een dgl artikel me niet. De samenvatting van Trouw is te summier.
Onderzoek bij elf jarigen ? Geen verwijzing in Trouw, of die er is in Science weet ik (nog) niet.
Ik weet wel dat er verschillen zijn in de vermogens tot abstrahering tussen zes jarigen (3e groep), twaalf jarigen (begin van VO) en achttien jarigen (freshmen, om in de amerikaanse terminologie te blijven). Die verschillen zijn significant v.w.b. het vermogen tot assimileren/abstraheren van stof uit wiskunde. Dat geldt net zo goed ook voor natuurkunde, talen en andere wijs- en vaardigheden.
maarten
Ik bedoelde de laatste regels van de samenvatting vam Mark79.
Ik kan het originele Science-artikel ook niet lezen, maar Mark79 zegt:
‘De experimenten werden uitgevoerd met universitaire studenten, maar de onderzoekers schrijven dat ze in een ander onderzoek met 11-jarigen hetzelfde vonden.’
laatste regels
OK, thnx, had ik over t hoofd gezien . Ik twijfel aan de waarde van dgl onderzoek. Ik ga het nazien bij Science (zal wel even duren).
maarten
Science artikel 25 apr 08 – Kaminski e.a.
Onderaan (cit.) het abstract :
Commentaar hier >
Het onderzoek beperkt zich tot undergrad’s @ Ohio State. Er wordt terloops bij gezegd dat hetzelfde resultaat (uit onderzoek) geldt voor 11-jarigen. Het artikel zelf heb ik nog niet te pakken, voorlopige indruk :imo een illuster voorbeeld van de formule, die twee ongelijksoortige grootheden optelt tot de som van eenheid van de delen.
Argumentatie : er zijn grote (niet alleen graduale, maar overwegende) verschillen tussen de abstractie-vermogens van zeer kleine en kleine kinderen, pre-adolescenten, adolescenten en jong-volwassenen. Ref : Piaget, Siegall, Carey, Gopnik, Nisbett (hoe verschillend ook onderling).
(cit.) abstract : Science 25 apr 08, pp 454-455 >
The Advantage of Abstract Examples in Learning Math
Jennifer A. Kaminski,* Vladimir M. Sloutsky, Andrew F. Heckler1
Undergraduate students may benefit more from learning mathematics through a single abstract, symbolic representation than from learning multiple concrete examples.
——————————————————————————–
1Center for Cognitive Science, Ohio State University, Columbus, OH 43210, USA.
maarten
Trouw – Onderzoek in USA: leerlingen leren niets van realistisch
Het Science artikel eindelijk gevonden. Het artikel is terzake : het gaat over studenten en over wiskunde leren (methodiek).
(Er is een “passing reference” naar 11 jarige leerlingen waarbij dezelfde soort abstrahering/wiskunde/onderwijs door de auteurs is gevonden).
De verwijzing in dit forum naar het artikel in Trouw (“Onderzoek in USA: leerlingen leren niets van realistisch rekenen”), en misschien ook dat artikel zelf, zijn wat kort door de bocht. Elders verder.
maarten
Ik heb, als onverbeterlijke
Ik heb, als onverbeterlijke alfa, eigenlijk nooit getwijfeld aan het gelijk in deze van 1945. En naar aanleiding van dit bericht schoot me ineens een oude mop te binnen van Jantje die trots vertelt dat 2 bananen + 2 bananen als uitkomst vier bananen geeft. Goed zo Jantje zegt vader en vertel nu eens : hoeveel is 2 appels + drie appels. Waarop Jantje antwoordt dat hij dat niet weet omdat ze de appels nog niet gehad hebben. Dat schiet dus niet op.
de abstracite van bananen
Om nog maar niet te spreken van het volgende :
2 appels + 3 peren = ? bananen ?
Ziedaar het abstractie nivo tot in de wortels (’ten voeten uit’) van de bananen plantage.
www.bananen-seite.de/Bananen/fair.html
en
www.bananen-seite.de/Bananen/start.html
maarten
HNL school: vissen in plaats van bananen
Ik ken een HNL basisschool waar met thema’s wordt gewerkt. Op een gegeven moment was er het thema “water”. Tsja.. dan zit je als rekenjuf met een probleem. Heb je wel van die mooie werkbladen met appels om de kindertjes te leren optellen, maar die kunnen natuurlijk bij het groot vuil. Het thema is tenslotte water, en daar heb je je bij neer te leggen natuurlijk.
Vandaar dat de juf eens uitgebreid aan het knippen en plakken is gegaan. Alle appels vervangen door vissen. Het kost de nodige tijd, maar dan heb je je lesmateriaal ook op orde gebracht! Iedereen gelukkig, want ook daar werd de dictatuur van het toevallige thema gevolgd.
(eerlijk echt waar, geen woord gelogen, zelfs niet ergens een ietsie pietsie overdreven)
Het artikel
Het staat op m’n blog, men kan het alleen lezen, niet printen of editen. Om het copyright niet al te zeer te schenden heb ik het document daartegen beveiligd. Privé kan ik een onbeveiligde kopie mailen naar iedereen die er om vraagt.
Het artikel is voor mij tamelijk onbegrijpelijk, maar ik heb geen tijd om er goed naar te kijken.
Willem Smit
het artikel
Goed artikel, daarbij de vaststelling dat het over jonge volwassenen gaat. Er wordt terloops vermeld dat de conclusies ook voor 11-jarige leerlingen gelden.
maarten