Antwoord op de kritische reactie van Victor Schmidt, vz. van de Rekentoetswijzercommissie, op rekenblog 16 [en dit is 17]

 
11 februari 2012. Mede dankzij de kritische analyses vanuit BON heeft OCW besloten om voor de rekentoets voor het vwo ook een serieuze variant 3S te laten ontwikkelen naast de 3F-toets van de commissie-Schmidt. (Volg bv. de WiskundE-brief voor verdere ontwikkelingen). Daar is door OCW een commissie voor benoemd: Jan van de Craats (vz), Jos Tolboom (secr), Jaap Vedder (CvE), Ernie Schouten (Cito), Henk van der Kooij, Wim Caspers, Peter Kop, Jan Karel Lenstra en Henk Rozenhart. Voor meer informatie, zie taalenrekenen.nl (daar ook het emailadres van de secretaris).

• In blog 7779 heeft de redactie, met toestemming van Victor Schmidt, zijn brief n.a.v. rekenblog 16 geplaatst (deze brief is door Schmidt in afschrift aan OCW gestuurd): pdf.
• Rekenblog 16: De wet, de rekentoets, het rekenen, en de eindexamens, ihb. havo/vwo [16] blog 7756

Antwoord op de kritische reactie van Victor Schmidt, vz. van de Rekentoetswijzercommissie, op rekenblog 16

Het is wel heel bijzonder om een inhoudelijke brief te ontvangen van Victor Schmidt, voorzitter van de Rekentoetswijzercommissie (zie redactie-blog 7779 met de brief van Schmidt). Tamelijk heftig ook, omdat hij negen misvattingen ziet in de laatste van een serie blogs over het rekenonderwijs in Nederland. Er is daarom voor gekozen om zowel zorgvuldig als uitvoerig te antwoorden op deze punten van kritiek. Het blijkt dat het Schmidt niet zozeer om misverstanden in rekenblog 16 is te doen, maar meer om de gelegenheid om toe te lichten hoe de commissie tewerk is gegaan bij het opstellen de voorbeeld-rekentoets havo/vwo. Of eigenlijk hoe de commissie heeft moeten werken binnen een te nauwe opdracht gezien de aard van de taak: een nieuw onderdeel ontwerpen van het eindexamen havo/vwo.

Ik (de eerste auteur) zal kort aanstippen wat mijn werkwijze is bij dit project van rekenblogs.  Ik werk als onderwijsonderzoeker, niet als politicus, politicoloog, wiskundige of leraar. En op absoluut vrijwillige basis. Mijn specialisme is in het bijzonder het toetsen, testen, examineren en selecteren dat in en rond het onderwijs plaatsvindt, tot en met aansluiting de arbeidsmarkt. Vanuit dat perspectief evalueer ik wat de kracht en wat de zwakte is van rapporten van commissies, en zoals hier ook van de voorbeeld-rekentoets havo/vwo. Het is in dat kader wel interessant wat precies de opdracht aan een commissie is, maar in mijn academische benadering telt allereerst de waarheidsvinding.  Staat er in een opdracht dat een commissie ervan uit moet gaan dat de zon in het Westen opkomt en in het Oosten ondergaat, dan is het aan de commissie om daar geen genoegen mee te nemen.  Dat hier problemen liggen, begrijp ik. Maar we komen met onderzoek naar kwaliteitsgebreken in het onderwijs niet verder wanneer deze voortdurend door beleidspapier toegedekt kunnen worden.
Ik begrijp heel goed dat voor de voorzitter van een overheidscommissie het gelijk ligt in de letter en de geest van de opdracht aan de commissie, en van voorgaande rapporten en regelgeving, die de speelruimte van de commissie bepalen of inperken.  Ik ga bij mijn analyse uit van andere kaders, van algemene beginselen van behoorlijk onderwijs (Job Cohen, 1982), van wat er op basis van de stand van zaken in relevante wetenschappelijke disciplines valt te zeggen over didactische praktijken en de kwaliteiten van examenvragen.

Puntsgewijs volgen nu de passage zoals door Schmidt geciteerd, de toelichting waarop we menen te moeten ingaan, en onze argumenten die met letters zijn aangeduid om verdere dialoog te vergemakkelijken. 

 Misvatting 1: 
“Een novum is ook, voor zover op dit moment te overzien (de concept-voorbeeld-rekentoetsen van de toetswijzercommissie-Schmidt), dat deze rekentoetsen, waar het College voor de Examens (CvE) de verantwoordelijkheid voor krijgt, een particularistische opvatting van rekenen vertegenwoordigen.” 

a. Ik begrijp uit de toelichting van Schmidt dat het hier niet om een misvatting gaat, maar om een uitspraak waar de voorzitter van de rekentoetswijzercommissie, verder de commissie te noemen, toelichting bij wil geven. Dat is prima. Schmidt beschrijft de gang van zaken en de beperkingen waarmee zijn commissie te maken heeft, wat op zich waardevolle informatie is.

• Schmidt: “De rekentoetswijzercommissie heeft als opdracht gekregen een toetswijzer te ontwikkelen voor havo en vwo op basis van referentieniveau 3F. Als randvoorwaarde gold dat de toetswijzers alleen beredeneerd mochten afwijken van de examensyllabus rekenen/wiskunde mbo-4. Op basis van deze opdracht is de commissie samengesteld en aan het werk gegaan met als resultaat een rekentoets dat grotendeels uit contextopgaven bestaat.”

b. Met alle respect, maar dit is niet de manier waarop op een verantwoorde wijze (onderdelen van) examens ontwikkeld moeten worden. Het ontwerpen van een examen is geen bureaucratische opgave, maar een inhoudelijke.  Uit de toelichting van Schmidt blijkt dat het de commissie eigenlijk expliciet is verboden om een inhoudelijke adequate rekentoets te ontwerpen. 

c. De basis voor het ontwerp van de rekentoets zou het referentieniveau 3F moeten zijn.  Waar komt dat referentieniveau vandaan: het is het resultaat van commissiewerk (de commissie-Meijerink), om preciezer te zijn van de werkgroep-Van Streun waarin leden van de commissie-Meijerink en externe leden. Had deze commissie, resp. werkgroep, de opdracht om rekentoetsen als onderdeel van het eindexamen havo/vwo voor te bereiden? De vraag stellen is hem beantwoorden: Nee. (Bijlage A van het rapport van de commissie-Meijerink) Maar dit is toch een wonderlijke situatie: referentieniveaus die voor een ander doel zijn ontwikkeld, blijken even later het keurslijf te zijn waarbinnen de commissie-Schmidt zijn opdracht moet vervullen. En dan is nog niet eens gesproken over de verdere inperking: alleen beredeneerde afwijking van de examensyllabus rekenen/wiskunde mbo-4. Wat mag de dwingende relatie zijn tussen eindexamens mbo-4 en havo/vwo? Dat zij alle toelaatbaarheid tot het hbo geven? Maar dan ligt het ultieme criterium voor een rekentoets toch niet in de voor een ander doel opgestelde referentieniveaus, maar in de eisen die het hbo stelt aan de reken- en wiskundevaardigheden van de binnenkomende studenten?

• Schmidt: “De vrijheid van de commissie was en is zeer beperkt. De rekendoelen van referentieniveau 3F zijn beschreven in het desbetreffende besluit. De commissie zou het referentiekader geen recht doen als ze een groot deel van deze rekendoelen niet in de rekentoetsen zou opnemen of zelf rekendoelen zou hebben toegevoegd. Bovendien, de commissie is er van uit gegaan dat het referentiekader rekenen door een groep met uitstekende expertise en van voldoende variatie is opgesteld. Had de commissie te zeer een eigen plan getrokken, dan zou ze het werk van de expertgroep overgedaan hebben en daarvoor achtte zich niet bevoegd en evenmin juist samengesteld.”

d. Natuurlijk heeft de commissie een buitengewoon ernstig probleem, geen misverstand daarover. Dat de voorzitter dat openlijk kenbaar maakt is moedig. De commissie heeft immers een taak die niet goed uitvoerbaar is, volgens welke maatstaven van kwaliteit dan ook.  Waarschijnlijk gold hetzelfde ook al voor de commissie-Meijerink en zijn werkgroep-Van Streun.  Maar waar gaat het met het onderwijs in dit land naartoe wanneer commissies onmogelijke opgaven toch uitvoeren, daarmee bewindslieden, het parlement, en het publiek de indruk gevend dat het werk goed is opgeleverd?  Er zijn waarschijnlijk weinig voorbeelden van commissies of instituten die opdrachten hebben teruggegeven. Ik ken een enkel voorbeeld waar het bijna zo ver is gekomen: de opdracht aan het Cito om een toelatingstoets voor de opleiding geneeskunde te ontwikkelen (Kuijpers, 1982). Minister van Kemenade was het bestuur van het Cito evenwel voor: hij trok zelf de opdracht in.  

e. Bovenstaand casus is ook daarom relevant omdat het, evenals bij de rekentoets, ging om het ontwikkelen van een toets met een zeer bijzondere functie: om bij de numerus-fixus geneeskunde de gewogen loting te vervangen door een vergelijkende toelatingstoets. Het Cito-bestuur dat de opdracht accepteerde, deed dat met de uitdrukkelijke verklaring dat daaruit niet mocht worden afgeleid dat het bestuur het beleid van de minister daarmee zou onderschrijven. Een nieuw bestuur was minder schroomvallig en vond gewoon dat het op psychometrische gronden niet aanvaardbaar zou zijn de — inmiddels wel ontwikkelde — toets inderdaad te gaan gebruiken. Over de bruikbaarheid van deze toets (kosten-baten) zie ook Wilbrink (1980).

f. De positie van een commissie kan moeilijk zijn, en dat geldt nog sterker voor individuele commissieleden. Zij zijn op basis van hun expertise benoemd.  Moet het publiek nu geloven dat de referentieniveaus van de commissie-Meijerink zijn ontwikkeld en vastgesteld met volledige instemming van ieder van de betrokken experts? Er waren immers geen minderheidsstandpunten bij de rapportages. Dat lijkt niet geweldig waarschijnlijk. Het is buitengewoon jammer dat Meijerink minderheidsstandpunten geen ruimte heeft geboden: nu weten we immers niet op welke punten er om welke reden verschillen van inzicht zijn geweest.
Een uitzondering is de inbreng die Kees van Putten ongetwijfeld in de werkgroep-Van Streun heeft gehad: de resultaten van de PPON 2004. Van Putten moet juist vanwege zijn kennis op dat punt zijn benoemd in de werkgroep, maar in het rapport van de Werkgroep blijkt niet dat de commissie iets met deze kennis heeft gedaan, en evenmin waarom dat niet is gebeurd. Op een enkel punt kan een buitenstaander dus wel analyseren dat een minderheidsinbreng is ondergesneeuwd, maar in het algemeen zal dat het geheim van de commissie blijven.  Dat is niet onbelangrijk voor een volgende commissie, waarvan de voorzitter claimt dat wiskundigen het met het rapport-Van Streun eens zouden zijn:

• Schmidt: “Bovendien, en dat is voor mij essentieel, heeft de hele wiskundegemeenschap zich destijds – soms met de nodige aarzeling, maar toch – geconformeerd aan het Referentiekader Rekenen.”

g. De wiskundegemeenschap is daarover niet geraadpleegd. Jan van de Craats, lid van de commissie Meijerink, van de werkgroep-Van Streun, en voorzitter van de door de minister in 2006 ingestelde Resonansgroep Wiskunde, heeft zich overigens in niet mis te verstane bewoordingen over een en ander uitgesproken, en dat kan toch niet als aarzelende instemming worden opgevat.

• Schmidt besluit: “Er is slechts op een beperkt aantal onderdelen sprake van een particularistische opvatting van de commissie.”

h. Schmidt doelt hier op de eigen keuzen die de commissie heeft gemaakt. Maar daar doelt rekenblog [16] niet op. De strekking van de door Schmidt geciteerde uitspraak is immers dat de voorbeeld-rekentoets rekenopgaven bevat die berusten op het gedachtengoed van het realistisch rekenen; de term ‘particularistisch’ is daar een eufemisme voor. Dit thema komt bij de volgende punten nog concreet aan de orde.

Misvatting 2: 
“Dat zijn NIET de rekenvaardigheden die het HO juist vraagt.” 

• Schmidt: “Ik was altijd in de veronderstelling dat het hoger onderwijs vooral behoefte heeft aan beheersing van algebraïsche vaardigheden. Dat wordt in de examenprogramma’s wiskunde van 2007 in voldoende mate geborgd. Het verwerven van algebraïsche vaardigheden verloopt in veel gevallen vanuit onderliggende rekenkundige vaardigheden. Als het hoger onderwijs tevreden is over beheersing van algebraïsche vaardigheden – en daarvoor zijn aanwijzingen – waarom zou ze zich dan nog moeite getroosten aan wat daaraan vooraf gaat?”

a. Er zitten tenminste twee kanten aan de stelling dat de rekentoets NIET de rekenvaardigheden bevat waar het ho om vraagt. Zie b, resp. c.

b. Wat in de voorbeeld-rekentoets zit, is irrelevant voor havo/vwo, en dus ook voor ho.  Hierbeneden is nog aan de orde hoe de inhoud van de voorbeeld-rekentoets havo/vwo irrelevant is voor havo/vwo, zoals de kale rekensommen die hoogstens niveau groep 8 bo zijn, terwijl de contextopgaven voor eindexamenkandidaten havo/vwo met wiskunde A of B volstrekt overbodig zijn, zowel qua inhoud als qua niveau. 

c. Wat in de rekentoets zou moeten zitten, al was het maar vanuit de gedachte van doorlopende leerlijnen naar het beroep toe, zijn stevige basale rekenvaardigheden die vele beroepsbeoefenaren dagelijks in hun beroep gebruiken.  Eén strafzaak tegen een verpleegkundige die een onvergeeflijke rekenfout maakt (0,10 mg is tien keer zoveel als 0,1 mg) is toch wel voldoende om dit te onderbouwen.  Dat er in vele opleidingen in het ho extra cursussen rekenen en extra toetsen op rekenen zijn, is bekend (hoewel niet duidelijk is of bijvoorbeeld de rekentoets voor de pabo wel stevig over basale rekenvaardigheden gaat: er wordt erg geheimzinnig gedaan over deze toetsen).

d. De Nationale Kennisbank Basisvaardigheden Wiskunde 2 website:

• “Dit project richt zich met name op de vermindering van uitval en van studievertraging in het begin van de studie die ontstaat door hiaten in de algebraïsche vaardigheden. Dit project wil bij de 18 deelnemende HO-opleidingen een substantiële vermindering van uitval en studievertraging in het eerste grotere wiskundevak realiseren.
  De participatie aan het hoger onderwijs staat onder druk door tekorten in wiskundekennis en vaardigheden bij startende studenten. Het betreft met name de economische, natuurwetenschappelijke en technische opleidingen (53% van de HBO-studenten, en 36% van de WO-studenten).”

Dit citaat benadrukt tekorten in wiskundige vaardigheden, in g) en h) komen de rekenkundige aan de orde.

e. De toelichting van Schmidt roept nieuwe vragen op, afgezien van de op zich opmerkelijke bekentenis die erin ligt besloten dat de rekencommissie die de rekentoets havo/vwo voorbereidt niet precies weet wat de aansluitingsproblemen met het ho zijn. 

f. De algebraïsche vaardigheden waarover Schmidt schrijft zijn wel degelijk problematisch voor het ontvangende ho. Een interessante vraag is of gebrekkige basale rekenvaardigheden daarvoor een achterliggende oorzaak zijn, zoals uit de opmerkingen van Schmidt zou kunnen volgen.  Daar is natuurlijk wel informatie over beschikbaar, zie de als bijlage geven brieven van Herman Ten Napel aan de voorzitter van de Rekentoetswijzercommissie, en van Geert Jan Franx aan de docenten wiskunde en statistiek van de universitaire opleidingen economie in vergadering bijeen op 29 juni 2011.

g. Ten Napel:

• “Maar als we dan toch -ons neerleggend bij de realiteit- een rekentoets moeten afnemen, mis ik een paar zeer essentiële zaken, zoals een aantal abstracte algoritmische rekentechnieken die de leerlingen zonder rekenmachine snel en foutloos moeten kunnen uitvoeren …”

(concrete voorbeelden: zie de brief in de bijlage.

• “In arren moede zijn we op onze faculteit maar weer begonnen om in de eerste weken van het collegejaar het elementaire rekenen met breuken te behandelen, tot grote verbazing en hilariteit van onze buitenlandse studenten (Chinezen en Koreanen) die zich terecht afvragen in wat voor land ze eigenlijk terechtgekomen zijn.”
• “Als bij de centrale schriftelijke VWO-eindexamens, óók bij wiskunde- A, de basistechnieken van rekenen, en hieruit volgend de basistechnieken van de algebra, voldoende aan bod komen, is eigenlijk het invoeren van een aparte rekentoets overbodig.”

h. Franx:

• “Het beroemdste voorbeeld is natuurlijk de verpleegster die voor moord werd aangeklaagd omdat ze een patiënt een overdosis insuline had gegeven. Haar (oprechte) verweer was dat ze simpelweg het recept van de dokter had uitgevoerd: “Vorige week moest ik 0,1 mg geven, en deze week stond er plotseling 0,10 mg, dat is dus 10 keer zoveel…” Dit is het regelrechte gevolg van het gebruik van de rekenmachine in het onderwijs: De antwoorden worden geïnterpreteerd als een character string, waarvan de betekenis hen totaal ontgaat. Alleen door jarenlang met de hand met breuken te werken, wordt de betekenis duidelijk.
  Dit voorbeeld is wellicht wat extreem, maar wat dichter bij huis (in mijn geval de VU) blijkt dat de meerderheid van de bedrijfskunde en economiestudenten grote problemen heeft met breuken die spontaan kunnen optreden bij het oplossen van praktisch problemen. Als bijvoorbeeld na enig rekenwerk de vergelijking x/a = b/c optreedt, hebben deze studenten geen idee hoe ze hieruit x kunnen oplossen, laat staan dat ze de vergelijking a/x = b/c aankunnen (uiteraard zijn a, b en c constanten).”

Misvatting 3: 
“Ergo: dit is een uitwerking langs de lijnen van realistisch rekenen, een niet empirisch ondersteunde (zie de Onderwijsraad) rekendidactiek van het Freudenthal Instituut. Als de overheid dit, via het CvE, gaat voorschrijven, schrijft het het ‘hoe’ van het rekenonderwijs voor.” 

• Schmidt: “Rekendoelen op het gebied van functioneel gebruik gaan over het oplossen van problemen van rekenkundige aard in een functionele situatie. Het stellen van dergelijke doelen betekent dat scholen geacht worden in hun onderwijs aandacht te schenken aan het verwerven van functioneel gebruiksvaardigheden. Hoe ze dat doen, staat ze vrij.”

a. Is het niet zo dat het idee dat de overdracht van rekenkennis naar zijn gebruik in praktijksituaties — transfer — bij uitstek is benadrukt door Hans Freudenthal en zijn groep? Dat is toch wat is bedoeld met ‘functioneel rekenen’? Niet dat de rest van de wereld daar op tegen is, maar het idee om praktijksituaties de school binnen te willen halen — of dat in realistische rekenmethoden ooit is gelukt is best een interessante vraag — is toch wel bijzonder. Is de school niet juist de vrijplaats van de beslommeringen die het dagelijks leven straks met zich mee gaat brengen? Jongelui in het vmbo de prijs van anderhalf ons kaas uit laten rekenen verspilt hun kostbare tijd: deze functietraining kunnen ze veel beter later doen, en dan niet als consument, maar als jongste bediende in de detailhandel. 

b. Het is dus duidelijk dat het functioneel rekenen in contexten een didactiek is, in de school van Freudenthal.  Natuurlijk, dat functioneel rekenen zal oorspronkelijk bedoeld zijn als didactisch hulpmiddel. Dat het didactische hulpmiddel vervolgens opduikt in afsluitende rekentoetsen vraagt op zijn minst om enige uitleg.  Toetsen of iemand zonder krukken kan lopen, gaat immers zonder die krukken.  Of is dit de verkeerde metafoor?  De vraag is deze: rekenonderwijs dat gebruik maakt van contexten, aangenomen dat empirisch is gebleken dat dit een verstandige didactiek is, impliceert niet dat het toetsen van rekenvaardigheden dan ook in of met contexten moet gebeuren. Dat zijn gescheiden zaken, en wie het samenbrengt zal het moeten uitleggen. 

c. Wie argument b. niet overtuigend vindt, bedenke het volgende: bij het onderwijs in de zaakvakken komt rekenen te pas. Dan zijn die zaakvakken de relevante contexten, en die contexten worden bij de zaakvakken ingezet, niet bij het rekenen.   
Het hele verhaal is in het vo hetzelfde waar het gaat om wiskunde en natuurkunde/scheikunde.  Waarom moet in het wiskundeonderwijs zo nodig met gekunstelde of onzinnige contextvragen worden gewerkt. Heet dat functionele wiskunde?

d. Victor Schmidt bestrijdt niet de stelling van de Onderwijsraad dat het realistisch rekenen van de Freudenthal-groep een empirisch onbewezen didactiek is,. Dat wil zeggen dat er geen empirisch onderzoek is dat aannemelijk maakt dat deze didactiek tenminste even doelmatig en doeltreffend is als alternatieve didactische benaderingen die dichter blijven bij het rekenen en de wiskunde als abstracte vakken. 

• Schmidt: “Als een school van mening is dat hun leerlingen deze rekendoelen kunnen bereiken door veel rijtjessommen te oefenen, dan zal niemand daar een probleem van maken, zolang haar leerlingen er maar blijk van geven op het toetsmoment functioneel gebruiksdoelen voldoende te beheersen.”

e. Het geeft geen pas om niet op realistisch rekenen gebaseerde rekenmethoden af te doen als methoden die vooral veel rijtjessommen oefenen. Jan van de Craats heeft in 2007 een prima schets gegeven hoe rekenonderwijs er zonder de door hem bekritiseerde didactieken van het realistisch rekenen uit zou kunnen zien.  Een dergelijke methode — Reken zeker — is ondertussen op de markt beschikbaar (Noordhoff).

f. Schmidt stelt wel makkelijk tegenover elkaar dat het aan de scholen is om bij op realistische leest geschoeide toetsing toch te kiezen voor een alternatieve rekenmethode, en ook precies andersom, maar dit zijn geen symmetrische situaties. Psychologische wijsheid is dat een zuivere rekendidactiek het gaat winnen van een rekendidactiek die juist heel breed van stof is en de basale rekenvaardigheden verwaarloost, hoe er ook wordt getoetst. Een aanwijzing daarvoor is het resultaat in het MORE-onderzoek (Gravemeijer e.a., 1993), waar leerlingen die handig hadden leren rekenen in handig rekenen minder presteerden dan leerlingen die een ander rekenprogramma hadden gevolgd.

g. Dat het referentiekader alleen het ‘wat’ voorschrijft is een politieke fictie, onder andere in stand gehouden door de constructie om de referentieniveaus wettelijk te beschouwen als verfijning van de kerndoelen basisonderwijs. Minister Rouvoet (Handelingen 31 maart 2010)

• “Kerndoelen bepalen wat het onderwijsaanbod moet zijn en de referentieniveaus bepalen wat het resultaat van die inspanning moet zijn, namelijk het beheersingsniveau van die basisvaardigheden taal en rekenen. Zeker wat het primair onderwijs betreft, waar wij twee referentieniveaus onderscheiden, moet het referentieniveau niet worden opgeteld, bovenop de kerndoelen, maar worden beschouwd als een uitwerking van de kerndoelen op het niveau van de beheersing door de leerlingen.”

Misvatting 4: 
“Ergo: met het ontbreken van directe toetsing op rekenvaardigheden vermenigvuldigen, delen, en breuken wordt ontkend dat hier juist de problemen met het reken van de Nederlandse jeugd liggen.” 

• Schmidt: “In de voorgestelde rekentoetsen wordt wel degelijk getoetst op beheersing van de genoemde rekenvaardigheden.”

a. In de uitnodiging voor de expert meeting (zie bijlagen bij de blog) staat ondubbelzinnig:

• “Er zijn geen toetsopgaven die betrekking hebben op een specifieke rekenprocedure.” 

Dus geen opgaven als: bereken met een staartdeling 74983 : 432. Of bereken met behulp van vermenigvuldigen onder elkaar 74983 x 432. De impliciete boodschap aan het onderwijsveld is: dit rekenen is niet van belang, er zal niet op worden getoetst.

b. Wat hebben we nu: een voorbeeld-rekentoets havo/vwo die bestaat uit te simpele ‘handig’ te berekenen kale sommen en te simpele contextopgaven waar een rekenmachine bij de hand is. Dit is niet het rekenen waarvan bij de PPON 2004 is geconstateerd dat de 12-jarigen deze rekenvaardigheden dramatisch slechter beheersen dan in voorgaande peilingen het geval bleek (Janssen, Van der Schoot & Hemker, 2005). 

c. Deze voorbeeld-rekentoets is niet inhoudsvalide, gemeten naar zijn relevantie voor de Nederlandse rekenproblematiek zoals bij gelegenheid van de PPON 2004 geconstateerd. Terwijl deze boodschap toch in kringen van SLO en FI wel degelijk is overgekomen, zoals de openingsparagraaf van Buijs (2009) laat zien.

Misvatting 5: 
De rekentoetswijzercommissie schrijft handig rekenstrategieën voor.

a. Schmidt geeft dit niet als citaat, en dat is het ook niet; hij bedoelt kennelijk dat hij de tekst zo opvat.
De voorbeeld-rekentoets bevat vooral contextvragen, waarbij tevens een rekenmachine beschikbaar is, en een klein deel kale rekenopgaven die ‘handig’ zijn op te lossen. Hierin is het gedachtengoed van het realistisch rekenen te herkennen. Dat is het punt van rekenblog 16: als dit zo is, dan schrijft de overheid, over de band van de rekentoetswijzecommissie en het CvE, een specifieke rekendidactiek voor, en didactiek is het ‘hoe’. 

• Schmidt: “De rekentoetswijzercommissie schrijft geen strategieën voor, maar biedt leerlingen de gelegenheid handig rekenstrategieën toe te passen.”

b. Wat Schmidt schrijft is correct, en in rekenblog [16] niet anders voorgesteld. Maar zo eenvoudig is het natuurlijk niet:

c. Uit alle denkbare kale rekensommen zijn de sommen die ‘handig’ zijn op te lossen een heel kleine onderverzameling (subset).  Dat betekent dat de commissie hier willens en wetens kiest voor een dramatische eenzijdigheid in de rekentoets, daarmee het onderwijsveld uitnodigend om in het rekenonderwijs te koersen op eenzelfde eenzijdigheid. 
Dit is helaas geen nieuwigheid die door de commissie is bedacht, maar een stand van zaken die al heel lang bekend is. Immers, de kerndoelen rekenen schrijven deze eenzijdigheid zelfs voor, waar het rekenen zoals u en ik dat kennen is vervangen door ‘handig’ rekenen.

d. zie punt 4.a

• Schmidt: “Als een leerling deze [een handige rekenstrategie] niet, maar een cijferprocedure wel beheerst, dan staat het hem volledig vrij een dergelijke procedure te hanteren.”

e. Dat is waar, maar dat is ook niet ontkend. Het probleem is een ander, en nadrukkelijk onder de aandacht gebracht door Kees van Putten (2005). Veel leerlingen zijn geneigd om een kale deelsom niet op papier uit te rekenen, al dan niet met staartdeling of hapmethode, maar uit het hoofd. En dan maken ze verschrikkelijk veel fouten. Kale rekensommen die ‘handig’ zijn uit te rekenen, nodigen uit om dat inderdaad te doen — de leerlingen hebben ook nadrukkelijk geleerd om het handig te doen — en het gevolg daarvan zal zijn dat het vaker uit het hoofd gaat, met meer fouten.  Als geen onbekende op het terrein van toetsvragen komen deze ‘handig’ oplosbare kale sommen mij veel te dicht in de buurt van strikvragen.  Het probleem is enigszins te ondervangen door de kandidaten te vragen iedere berekening op schrift uit te voeren, maar waar zijn we dan met ons rekenonderwijs mee bezig?

Misvatting 6: 
“Er is nog steeds, ook na de brief van Van Bijsterveldt van 7 juni jl, onzekerheid over de status van die rekentoetsen: of ze uiteindelijk wel mee zullen tellen voor de eindexamenresultaten havo/vwo (wat van de gekke zou zijn), …. ” 

• Schmidt: “Het is inmiddels duidelijk op welke wijze de resultaten op de rekentoetsen meetellen in het examen.”

a. De zaak is geenszins al politiek dichtgemetseld.  En dan nog: ten strijde willen trekken is geen misvatting, maar een democratische plicht. Ook wanneer het hele wetgevingstraject zou zijn doorlopen, is het geen gedane zaak: de wet zal op korte termijn worden geëvalueerd, en desnoods herzien. 

b. Ik wijs erop dat de betekenis van de wet, van iedere wet, door meerdere gegevenheden wordt bepaald: de tekst van de wet, de toelichting op de wet, maar ook de parlementaire behandeling en in het bijzonder de in de Handelingen vastgelegde wisseling tussen bewindslieden en Kamer bij de behandeling van het wetsontwerp, en niet te vergeten de jurisprudentie bij de wet.  

c. De Handelingen van 31 maart 2010 laten zeer uitgesproken opvattingen zien, die bepaald meer diepte geven aan, bijvoorbeeld, wat de minister in de brief van 7 juni aan de Kamer rapporteert.  Het is bepaald geen gedurfde stelling dat de inrichting van de voorbeeld-rekentoets havo/vwo op belangrijke punten in strijd is met opvattingen van bewindslieden en TK op 31 maart 2010 uitgesproken. 

d. Er kunnen de nodige juridische conflicten worden verwacht, gezien de vele nieuwigheden rond deze rekentoetserij in het eindexamen, de tegenstrijdige interpretaties in het wetgevingstraject, en het falen van de voorbeeld-rekentoets op het punt van inhoudelijke en voorspellende validiteit. Inhoudelijke validiteit faalt: het toetst geen rekenvaardigheden die in de PPON gebleken zijn juist het probleem van het Nederlandse rekenonderwijs te zijn. Voorspellende validiteit faalt: het toetst niet de rekenvaardigheid die het ho eist. 

e. Het voorgaande is allemaal wel van belang, maar is niet wat is bedoeld met de nog bestaande onzekerheid over de status van de rekentoetsen: dat is immers de belangrijke kwestie, uitgesproken op 31 maart 2010  bij de behandeling van het ontwerp van de Wet op de referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen, wat er zal worden gedaan met de resultaten op de rekentoetsen. Worden die individuele leerlingen aangerekend (wat dus niet vanzelfsprekend is), en zo ja, hoe gaat dat dan, welke eisen worden dan gesteld, zijn die algemeen voor alle leerlingen? Enzovoort. Deze vragen hebben de bewindslieden laten staan omdat daar werkendeweg pas zicht op zal komen, in pilots, experimenten en raadplegingen, en voortgaande meningsvorming in het veld.

 
Misvatting 7.

• Schmidt: “Volgens mij is de belangrijkste beweegreden van de overheid om rekentoetsen in te stellen gelegen in het feit dat niet elke leerling eindexamen in het vak wiskunde aflegt.”

a. Dit is een wonderlijke gedachte. Maar misschien is hij waar. Schmidt weet het ook niet zeker, en geeft er geen vindplaats voor.  

b. Waar het mij om gaat, in de sectie waar het door Schmidt aangevochten citaat thuishoort, is wat een goede aanpak is om ervoor te zorgen dat leerlingen de rekenvaardigheid die ze op hun 12e hebben, goed onderhouden. En daar nog enige rekenvaardigheid aan toevoegen. En de tekorten die ze waarschijnlijk als 12-jarige al hebben — zolang het bo zijn zaken niet op orde heeft — snel bijspijkeren.  Dan ligt een rekentoets in het laatste, eventueel het voorlaatste jaar van de opleiding wel erg ver weg, en wordt het zonder behoorlijk integraal rekenbeleid een struikelblok.  
Stel nu eens dat Jan Jacob van Dijk en Jasper van Dijk hun motie met twee woorden hadden uitgebreid: dus niet alleen taal meebeoordelen in alle examenwerk, maar ook rekenen. 
Ha, maar rekenen is iets heel anders! Wie fout rekent, maakt zijn opgave natuurkunde immers niet goed! 
Maar dat is te snel geconcludeerd. Wie zijn natuurkunde, resp. wiskunde goed kent, maar rekenfoutjes maakt, kan best een 10 voor zijn natuurkunde resp. wiskunde krijgen.  Dus de motie had evenzeer het rekenen kunnen betreffen.  De CvE komt in zijn advies aan de minister wel met de mogelijkheid om toch een afzonderlijke toetsing op taalverzorging, maar dat is niet meer dan een mogelijkheid waar tal van kosten en nadelen aan zijn verbonden. Het moet dus integraal taalbeleid zijn, waarbij een toetsing bij of in het eindexamen niet noodzakelijk is. 
Waarom zou dat voor rekenen anders zijn?  We gaan toch geen rekentoets opnemen alleen omdat bepaalde leerlingen geen wiskunde in hun pakket hebben?  

c. Opmerking over de rekenfoutjes in b. In het CSE wiskunde levert een rekenfoutje standaard een punt aftrek op. Tegen deze werkwijze bestaat hetzelfde bezwaar als tegen het aanrekenen van taalfouten in examenwerk, en ook tegen het aftrekken van punten voor spel- en syntaxfouten in de samenvatting Nederlans in het CSE. Voor de argumenten zie Wilbrink, Borsboom & Couzijn, 2010.

Misvatting 8: 
“De KNAW commissie-Lenstra had opdracht om nu eens een keer goed naar het rekenonderwijs te kijken, maar heeft dat uiteindelijk dus niet gedaan: geen analyse van de mogelijke tekortkomingen in de huidige dominante didactiek van het realistisch rekenen, onder gelijktijdig aangeven dat er geen empirisch onderzoek beschikbaar is over de effectiviteit van de genoemde didactiek.”

Het lijkt aanvankelijk op het verhaal van ‘het glas is half vol’ versus ‘het glas is half leeg.’ Schmidt legt uit waarom ik hier de zaak verkeerd zie:

• Schmidt: “De commissie Lenstra heeft geconcludeerd dat er geen aanwijzingen gevonden konden worden waaruit blijkt dat de realistische dan wel de traditionele rekendidactiek effectiever is dan de ander. De meest bepaalde factor zou de docent zijn. De opdracht aan de commissie was ook niet enkel om tekortkomingen van de realistische rekendidactiek te analyseren, maar de (effectiviteit van de) realistische en de traditionele rekendidactiek met elkaar te vergelijken.”

a. Als er nauwelijks empirisch toetsend onderzoek beschikbaar is, valt er over de effectiviteit van het huidige Nederlandse rekenonderwijs op basis van gericht onderzoek niets te concluderen. Dat traditionele en realistische methoden even effectief zijn, is natuurlijk een conclusie die op geen enkele manier volgt uit het ontbreken van empirisch onderzoek.

b. Maar dat is nog niet het einde van het verhaal: de PPON 2004 heeft immers een grote terugval is basale rekenvaardigheden laten zien. Dat is gebeurd in een land waar vrijwel alle rekenmethoden op realistische leest zijn geschoeid.  Een terugval in resultaten van het rekenonderwijs die samengaat met het overgaan van heel Nederland op realistische rekenmethoden is op zijn minst een stevige indicatie dat er iets met die rekendidactiek mis is. We weten wat 1 + 1 is: de Freudenthal-groep heeft altijd het belang van automatiseren (de tafels van vermenigvuldiging) en algoritmen (zoals de staartdeling) gebagatelliseerd, en laat nu precies in die basale vaardigheden Nederland in de gevarenzone zijn beland. Dan is het toch opmerkelijk dat de commissie-Lenstra hier geen verder onderzoek naar heeft gedaan. Berust dat op een meerderheidsbesluit van de commissie?

c. Schmidt zegt hier dat de opdracht aan de commissie-Lenstra óók was om de tekortkomingen van de realistische rekendidactiek te analyseren. Dat moet een verschrijving zijn.  Bedoelt Schmidt dat blog 16 stelt dat dit de opdracht aan de commissie was? Dat staat er nu juist heel zorgvuldig NIET (zie het citaat).  Wat de commissie niet had hoeven verhinderen om zo’n onderzoek uiteindelijk wel te doen, gezien de wél beschikbare empirische data (PPON-peilingen) en het feit dat de dominante didactiek in de kritische periode juist de realistische is.

• Schmidt: “Er is daarnaast onderzoek over dit thema gedaan door De Bock …. ”

d. Dit is een misvatting van Schmidt.  Er is in de media een hoop te doen geweest over de dissertatie van Kaminski. Dat betreft experimenteel psychologisch onderzoek, in het laboratorium, onder gekunstelde condities zoals die volgen uit de noodzaak om zoveel als mogelijk is irrelevante factoren uit te kunnen sluiten. Ik heb mij niet verdiept in de commotie, maar het lijkt erop dat Kaminski, en/of anderen, onvoorzichtig zijn geweest in het trekken van algemene conclusies. Die volgen inderdaad niet, dat ben ik met De Bock c.s. (2011) eens. Zij hebben een replicatie-onderzoek gedaan, eveneens experimenteel psychologisch, de resultaten van Kaminski bevestigend, maar niet haar interpretaties.

e. Als ik Schmidt goed begrijp, denkt hij bij deze discussie over abstract versus concreet in de didactiek, aan het gebruik van contexten, dus ook van contextopgaven, zoals ruimschoots opgenomen in de voorbeeld-rekentoets havo/vwo. En aan de thematiek van transfer, natuurlijk, waar aanvankelijk in het denken van de Freudenthal-groep al die contexten voor waren bedoeld.  Als ik het goed heb, is er al snel een wending in het denken geweest: contextopgaven zijn niet alleen nodig om de transfer van de rekenkennis te bevorderen — de kans te vergroten dat deze kennis in nieuwe situaties inderdaad wordt gebruikt — maar contexten zijn het didactische middel bij uitstek om leerlingen wiskundig te leren denken, dus te leren abstraheren. Ik heb in mijn opleiding psychologie geleerd dat dit soort uitspraken over wat didactisch werkt en over wat transfer bevordert, empirische toetsing behoeven. Die empirische toetsing is bepaald iets anders dan onderwijs ontwikkelen op basis van de aangegeven ideeën (ontwikkelingsonderzoek), en die empirische toetsing ontbreekt bij de Freudenthal-groep. 

f. Het grappige is dat deze analyse leidt tot het poneren van de mogelijkheid dat contextopgaven niet thuis horen in summatieve toetsing, zoals een examentoets. Immers, voorzover contexten van belang mochten zijn om te leren abstraheren, zijn ze van belang in het onderwijs, maar niet als einddoel. En het idee dat het rekenonderwijs primair moet worden geleid door het streven dat leerlingen hun reken- en wiskundekennis zodanig leren dat ze deze in nieuwe situaties ook vanzelfsprekend toepassen, berust op de fantastische misvatting dat volwassenen vaak verkeren in nieuwe situaties waarin het van belang is dat ze zich realiseren op welke manier deze nieuwe situatie een rekensituatie of wiskundesituatie is.  Met alle respect, zo zit het dagelijks leven niet in elkaar, en zeker beroepssituaties niet, waar immers een korte functietraining meestal volstaat om de nodige rekenvaardigheid te actualiseren.  Deze hypothesen berusten op algemene psychologische inzichten, ook op kennis van aansluiting tussen onderwijs en arbeidsmarkt. Het gaat er hier niet om of de laatste hypothesen in onderzoek zijn getoetst, nee, het gaat erom dat de hypothesen van het realistisch leren rekenen niet op hun werkelijkheidswaarde zijn getoetst.

Misvatting 9.
“In de rekenopvattingen van de Freudenthalgroep is er steeds minder ruimte gekomen voor basale rekenvaardigheden.”

• Schmidt: “Dit is een achterhaalde stellingname. Ook bij het Freudenthal Instituut is het besef ontstaan dat (het oefenen van) basale vaardigheden noodzakelijk is. Dat blijkt bijvoorbeeld uit het feit dat het instituut oefenmateriaal heeft uitgegeven onder de naam ZOEFI.”

a. Schmidt erkent dat deze stelling juist is, althans voor de periode tot, zeg, 2009. 

b. Het is toch goed hier voor de staartdeling nog eens aan te geven wat die ontwikkeling is geweest. In de tachtiger jaren benadrukt de didactiek van het realistisch rekenen dat de ‘hapmethode’ bij het leren delen langs de weg van progressief schematiseren voor de meeste leerlingen moet uitmonden in het standaardalgoritme voor de staartdeling. Er wordt zelfs geclaimd (Hans Freudenthal, 1984, in ‘Appels en peren’) dat deze didactiek in de helft van de tijd die andere methoden nodig hebben, de leerlingen beter leert staartdelen. De empirische evidentie daarvoor is altijd verscholen gebleven in een intern rapport, terwijl zo’n spectaculair resultaat toch gerapporteerd had moeten worden in Pedagogische Studiën, of het door Freudenthal opgerichte Educational Studies in Mathematics. 
Het is precies dit soort claims dat de realistische rekenmethode voor velen in het land zo aantrekkelijk deed lijken.  In de decennia daarna is in steeds sterker mate afscheid genomen van het idee dat het leren delen als einddoel heeft dat de leerlingen kunnen staartdelen. 

c. Een voorbeeld van de recente ommezwaai is de volgende uitspraak van Sieb Kemme, Ed de Moor, en Willem Uittenbogaard, van Rekenbeter.nl, in Het Onderwijsblad van 9 april 2011. 

• “Wie de moeite neemt om de huidige realistische methodes erop na te slaan, ziet direct dat bijna op elke pagina rijtjes sommen staan, dat van de leerlingen verwacht wordt dat ze de tafels paraat hebben en dat er gewoon met de staartdeling cijferend gedeeld wordt.”

Ik weet niet of het bovenstaande naar de letter een juiste bewering is, maar wil dat best aannemen. Ik hoop eigenlijk dat het waar is. De auteurs gebruiken hun brief verder om columniste Lachesis belachelijk te maken; ik had liever de nodige uitleg gezien waarom dan de huidige realistische rekendidactiek de kroonjuwelen uit de voorgaande periode van de hand heeft gedaan. Ik citeer Willem Uittenbogaard en Wim Koersen (2006), die nog niet zo lang geleden een extremistisch standpunt tegen basale rekenvaardigheden presenteerden. Of nee, beter is Uittenbogaard (2008):

• “Het cijferen, dat we vroeger leerden onder het motto: vlug, foutloos, voor later … heeft in de tegenwoordige tijd z’n betekenis goeddeels verloren. Er is bijvoorbeeld geen beroep meer waar je het nog voor zou moeten kunnen. En het toepassen van een algoritme is ook geen wiskunde! Bovendien, de oude cijferalgoritmen hebben niet veel betekenis voor het wiskundeonderwijs in het voortgezet onderwijs of voor later. In de woorden van Van de Craats: de doorstroomrelevantie van deze leerstof is niet groot.”

d. Is Uittenbogaard representatief voor de opvattingen in de Freudenthal-groep? Laat ik twee voordrachten noemen die dat trefzeker wél zijn: de oratie van Marja van den Heuvel Panhuizen (2009), en haar Australische verdedigingsrede van het realistisch rekenen (2011). Voor een rekeninstituut dat nauwelijks empirisch toetsend onderzoek heeft gedaan (Onderwijsraad, 2006; commissie-Lenstra, 2009),  claimt zij in deze toespraken wel heel veel empirische feiten. En misvattingen bij de critici van realistische rekenmethoden.

Tenslotte
Het is goed om deze argumenten te kunnen wisselen, waaruit ook duidelijk is wat de verschillende posities zijn van waaruit de voorbeeld-rekentoets havo/vwo kan worden beoordeeld. Victor Schmidt heeft negen misvattingen gezien in rekenblog 16, wat betekent dat hij zich in de vele andere punten in deze rekenanalyse 16 kan vinden. Wij menen in het bovenstaande getoond te hebben dat het ook met die negen misverstanden wel goed zit: uit de weg geruimd, of herleid tot verschillen in inzicht en verantwoordelijkheid. Dat is bemoedigend; het geeft aan dat er een breed gemeenschappelijk inzicht is op basis waarvan verdere dialoog over het werk aan het Nederlandse rekenonderwijs goed mogelijk is.

===================================================

• Als bijlage, met toestemming van Herman ten Napel, docent wiskunde/statistiek aan de Economische Faculteit van de UvA, zijn brief aan Victor Schmidt, over de reken- en wiskundevaardigheden die het ho graag zou zien, maar bij de aankomende studenten vaak mist. Zijn brief komt ter sprake op woensdag 29 juni, de jaarlijkse bijeenkomst van de docenten wiskunde en statistiek van de economische faculteiten c.q. opleidingen van de universiteiten in Nederland.
  N.a.v. de brief van Ten Napel een aanvullende brief van Geert Jan Franx eveneens als bijlage hier toegevoegd, met zijn toestemming.

literatuur

• Dirk de Bock, Johan Deprez, Wim van Dooren, Michel Roelens & Lieven Verschaffel (2011). Abstract or concrete examples in learning mathematics? A replication and elaboration of Kaminski, Sloutsky, and Heckler’s study. Journal for Research in Mathematics Education, 42, 109-126.
• Kees Buijs (2009). Werken aan rekenvaardigheid in het vmbo. Euclides, 84. pdf (zie Kees Buijs (2011) in Euclides, 86, p. 286, voor het vervolg op dit project: Lesmap ‘Verder met rekenen’ voor het vmbo beschikbaar. lesmap pdf)
• M. Job Cohen (1981). Studierechten in het wetenschappelijk onderwijs Proefschrift Rijksuniversiteit Leiden. Tjeenk Willink.
• Jan van de Craats (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. (uitgewerkte tekst van een voordracht op 18 januari 2007 tijdens de 25e Panama-conferentie te Noordwijkerhout) pdf. Ook verschenen in Nieuw Archief voor Wiskunde, 5e serie deel 8 nummer 2, 132-136 pdf, en het Tijdschrift voor Remedial Teaching, 15, nummer 5, 10-14.
• Hans Freudenthal (1984). Appels en peren / wiskunde en psychologie. Garant. integraal op dbnl. Hieruit in het bijzonder hoofdstuk 4: Wiskundig-didactische principes — vanuit het rekenonderwijs gezien. html
• Gravemeijer, K., Van den Heuvel-Panhuizen, M ., Van Donselaar, G., Ruesink, N., Streefland, L., Vermeulen, W., Te Woerd, E. en D. van der Ploeg (1993) Methoden in het reken-wiskundeonderwijs, een rijke context voor vergelijkend onderzoek.
• Marja van den Heuvel-Panhuizen (2009). Hoe rekent Nederland? Inaugurele rede. pdf
• Marja van den Heuvel-Panhuizen. (2010?). Reform under attack — Forty years of working on better mathematica thrown on the scrapheap? No way! Keynote presentation, MERGA33: Shaping the Future of Mathematics Education.
• J. Janssen, F. van der Schoot en B. Hemker (2005). Balans [32] van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool. 4. Uitkomsten van de vierde peiling in 2004. (Hierin ook de deelrapportage van Kees van Putten) ashx
• Kuijpers, H. L. M. (1982). Gewikt en gewogen. Eindverslag van het Cito-project ‘Studietoetsen voor studierichtingen met een numerus-clausus.’ Arnhem: Cito. Algemene publikatie nr 26.
• Jan Karel Lenstra (Vz.) (4 november 2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW), Advies KNAW-commissie rekenonderwijs basisschool pdf
• Sieb Kemme, Ed de Moor & Willem Uittenbogaard (2011), ingezonden brief in Het Onderwijsblad van 9 april 2011.
• Onderwijsraad (2006). Naar meer evidence based onderwijs. Advies aan de minister van OCW pdf
• Commissie-Meijerink / werkgroep-Rijlaarsdam-van den Berg / werkgroep-Van Streun (2008). Referentiekader taal en rekenen. De referentieniveaus. Taal. Rekenen. Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. pdf
• Putten, C. M. van (2005). Strategiegebruik bij het oplossen van deelsommen. In J. Janssen, F. van der Schoot en B. Hemker: Balans [32] van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool. 4. Uitkomsten van de vierde peiling in 2004. (125-131). ashx
• Reken zeker. Noordhoff Uitgevers, in samenwerking met de Stichting Goed Rekenonderwijs. website
• Werkgroep-Van Streun (2008). Over de drempels met rekenen. Consolideren, onderhouden, gebruiken en verdiepen. Onderdeel van de eindrapportage van de Expertgroep
  Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. pdf

• Willem Uittenbogaard en Wim Koersen (2006). Kolomrekenen en cijferen: hoe nu verder? html
• Willem Uittenbogaard (2008). Hoe Juliette en Jonas leren rekenen. Appels en peren — naar Hans Freudenthal. Panama Post. pdf
• Ben Wilbrink (1980). Toelatingstoets voor het wetenschappelijk onderwijs? Tijdschrift voor Onderwijsresearch 5, 39-40. html
• Ben Wilbrink: Kwaliteit van toetsvragen. In Toetsvragen onwerpen. Handreiking bij het maken van toetsvragen over de leerstof. website 28-6-2011
• Ben Wilbrink, Denny Borsboom & Michel Couzijn (september 2010). Spelling, grammatica en interpunctie meebeoordelen op eindexamens? Examens, Tijdschrift voor de Toetspraktijk, 8 (3), 5-9. pdf.

links

• In blog 7779 heeft de redactie, met toestemming van Victor Schmidt, zijn brief n.a.v. rekenblog 16 geplaatst (deze brief is door Schmidt in afschrift aan OCW gestuurd): pdf.

  Als bijlagen hier ook: uitnodiging van de commissie voor de expert meeting 12 april, de rekentoetswijzer (concept) en de voorbeeld-rekentoets (concept).
  [geen auteur genoemd] Servicedocument bij de rekentoetswijzers 2F en 3F vo. Toelichting, aanvullende informatie, verantwoording & discussie en voorbeeldopgaven bij de rekentoetswijzers 2F en 3F voortgezet onderwijs. Eindversie. pdf

  Rekenblog 16 was mede een oefening voor het volgende concept-artikel, waarvan de definitieve versie in september zal verschijnen in Examens. Tijdschrift voor de Toetspraktijk:

  Ben Wilbrink en Joost Hulshof: De wet, het rekenen, en de rekentoets in de eindexamens havo/vwo. html

  Ben Wilbrink en Joost Hulshof (in druk): De wet, het rekenen, en de rekentoets in de eindexamens havo/vwo. Invoering van de rekentoets havo/vwo in 2014. Examens. Tijdschrift voor de Toetspraktijk, jaargang 8, nummer 3 (september), 18-22. [Het beleid van dit tijdschrift is om artikelen na een jaar vrij beschikbaar te maken]

  Victor Schmidt refereert in zijn brief aan de brede discussie n.a.v. het proefschrift van Kaminsky, een discussie die ook in Nederland nogal wat pennen heeft losgemaakt. Omdat het gaat om laboratoriumonderzoek dat heel, heel ver van de onderwijsvloer afstaat, ga ik er in de reactie op de brief van Schmidt niet inhoudelijk op in. Daarom: voor een pdf met daarin enkele belangrijke stukken uit de pers, en een ppt-presentatie van De Bock e.a. die in de Nieuwe Wiskrant hun replicatie-onderzoek aan het Nederlandse publiek presenteren, zie hier de handout van de ppt presentatie op de site van het FI, of de pdf ervan in de bijlagen bij deze blog.

Vorige blog

• De wet, de rekentoets, het rekenen, en de eindexamens, ihb. havo/vwo [16] blog 7756

voor-vorige blog, met volledige lijst van voorgaande rekenblogs

• Coen Teulings: achterblijvende reken- en wiskundevaardigheden gaan ons jaarlijks zes miljard kosten [15] blog 7723

Ben Wilbrink, onafhankelijk onderwijsonderzoeker website
Joost Hulshof, Wiskundige Analyse aan de Vrije Universiteit, bestuurslid BON.