Is het realistisch rekenen theoretisch gefundeerd? Begin van de reis langs zijn beginselen [13]

Is het realistisch rekenen theoretisch gefundeerd?

Blog [11] bespreekt het empirisch tekort in het werk van de Freudenthal-groep. Het kan niet missen, of bij dat empirisch tekort horen theoretische tekorten. De volgende vraag ligt nu voor de hand, aangezien er geen goede theorie denkbaar is zonder dat deze empirische toetsing heeft ondergaan: Ligt er wel een theoretische fundering onder het bouwwerk van het realistisch rekenen? Het korte antwoord — ‘Nee’ — is minder interessant dan het lange antwoord, waarbij voor ieder van ”fundamentele leerprincipes van de reconstructiedidactiek” (Treffers e.a. 1989 p. 14) en andere theoretische stellingnamen van Hans Freudenthal en anderen aan de orde is of deze ondersteund zijn door wetenschappelijke theorie of ander empirisch onderzoek. Deze blog bijt het spits af, met een voorbeeld van wat het is om een veronderstelling over rekenen onderzoekbaar te maken. Ik kies dat voorbeeld uit een artikel dat nog in druk moet verschijnen — Siegler e.a. (2011 geaccepteerd) — om weg te blijven van het verwijt dat de Freudenthal-groep dit specifieke onderzoek niet heeft gedaan: dat hadden zij niet kunnen doen, dit fundamentele onderzoek is hun taak ook niet.
Ik wil hier niet een opsomming geven van de theoretische stellingen in het gedachtengoed van de Freudenthal-groep, en volsta met één kenmerkend voorbeeld:

• A. Treffers, E. de Moor & E. Feijs (1989). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel I. Overzicht einddoelen. Zwijsen. blz. 14. par. 3 “Vijf fundamentele leerprincipes van de reconstructiedidactiek”, de eerste zin van de sectie “construeren en concretiseren”:
  • Als belangrijkste beginsel geldt de stelregel dat leren eerst en vooral construeren is, wat in schrille tegenstelling staat tot de opvatting van leren als absorberen.

Over deze stelling is lang nagedacht; het gaat niet om een verschrijving of oprisping waar Treffers later spijt van heeft gekregen. Er is eigenlijk geen beginnen aan om deze psychologische warboel te ontwarren en dat ga ik hier dus ook niet doen. Mijn studie bestond destijds voor een belangrijk deel uit leerpsychhologie, en die laatste is onmogelijk samen te vatten in de geciteerde stelling van Treffers e.a., de Freudenthal-groep. Laat ik er toch dit over zeggen: de constructieve gedachte in de psychologie slaat op wat de hersenen met informatie doen, niet op wat kinderen met informatie doen. Duidelijker: er is niet een homunculus — een oliemannetje — die de hersenen aanstuurt om te doen wat ze moeten doen.

Ik spring naar een of meer totaal andere, wel hanteerbare stellingen — in de ogen van de auteurs zelfs al een afgeronde theorie — van Siegler e.a. (2011), en wil dan iets laten zien van de weg van stelling naar empirische toetsing enzovoort. De theorie kan ondeugdelijk blijken, of slechts een deeltheorie blijken te zijn, maar het gaat mij er niet om of Siegler cs hier de kern van een ultieme theorie voor basaal rekenen hebben ontwikkeld (vast en zeker niet). Werk van Lebiere & Anderson zou beter passen, maar is complexer en vraagt van mij een grote investering (zie ook Ansari 2008 voor de cognitieve neuropsychologie van de grootte van getallen). Ik citeer de opening van hun hoofdstuk, als contrast met de simpele voorstelling van zaken zoals Treffers e.a. die geven, en als opening voor de bespreking van Siegler cs, die in hun onderzoek een stap verder terug doen en naar funderend getalbegrip kijken.

• Christian Lebiere and John R. Anderson (1998). Cognitive arithmetic. In John R. Anderson, Christian Lebiere, and others: The Atomic Components of Thought (297-342). Lawrence Erlbaum.
  • Cognitive arithmetic studies the mental representation of numbers and arithmetic facts (counting, addition, subtraction, multiplication, division) and the processes that create, access, and manipulate them. Although the task is trivial for computers, it is quite difficult for humans to master, and presents a domain that is both propitious and challenging for ACT-R [Anderson’s theory of cognition]

• Robert S. Siegler, Clarissa A. Thompson & Michael Schneider (2011). An integrated theory of whole number and fractions development. Cognitive Psychology, 62 273-296. pdf

Dit artikel heeft breuken als hoofdonderwerp, en geeft voorafgaand daaraan een uitstekend theoretisch kader voor en samenvatting van eerder werk over getalbegrip — number magnitudes — bij gehele getallen. Waar gaat het om: heel jonge kinderen plaatsen getallen op de getallenlijn van 0 tot 100 op een ‘scheve’ manier: de grotere getallen gedrongen naar de rechterkant, de kleinere getallen ruim gepositioneerd aan de linkerkant; onderzoekers noemen het bij voorkeur ‘logaritmisch’. Uiteindelijk leren kinderen om getallen op de ‘juiste’ lineaire plek te plaatsen, dus 75 op de positie op ca 3/4 van de lijn. Technieken voor dit experimentje kunnen verschillen, maar u kunt zelf wel bedenken hoe dat gaat (zie anders de literatuur waarnaar is verwezen). Het gaat hier om wat ik zelf maar een funderende rekenvaardigheid noem: uit onderzoek blijkt dat leerlingen die nog niet het in onze rekencultuur ‘juiste’ lineaire begrip van de grootte van getallen hebben, moeite hebben met rekenen. NB: voor iets oudere kinderen herhaalt het probleem zich voor de grotere getallen tot 1000. In potentie hebben we hier dus een fenomeen dat direct didactisch belang heeft, de komende jaren zullen we daar wel onderzoekmatige uitwerkingen van te zien krijgen.

• • Findings regarding whole number magnitude representations also have illuminated other aspects of numerical knowledge, such as arithmetic. If learning answers to arithmetic problems were solely a matter of rote memorization, there would be no particular reason to expect a relation between the accuracy of magnitude representations and arithmetic competence. However, if learning answers to arithmetic problems is a meaningful process, accurate magnitude representations might indicate the implausibility of many answers and the plausibility of a few, producing more peaked distributions of activation around the correct answer, thus facilitating correct retrieval. Consistent with the latter perspective, experiences that improve numerical magnitude representations not only increase subsequent learning of correct answers to arithmetic problems but also lead to errors being closer to the correct answer on trials where children err (Booth & Siegler, 2008; Siegler & Ramani, 2009).

Het punt bij dit onderzoek naar getalbegrip en rekenprestaties is dat het empirisch toetsend onderzoek is, in een dankzij dat onderzoek zich verder ontwikkelend theoretisch kader. Het ontwikkelingsonderzoek waarop de Freudenthal-groep bij uitsluiting van empirisch toetsend onderzoek op steunt, bevindt zich dan op een andere planeet; het blijft tasten in het duister, hoeveel ontwikkelingsonderzoek er ook wordt verzameld.

Omdat breukenonderwijs enorm belangrijk is voor vervolgonderwijs wiskunde, is het boeiend om te zien hoe Siegler cs. (2011) hier een poging doen om rekenen met gehele getallen, en dat met breuken, op eenzelfde noemer te brengen, als ik dat zo mag uitdrukken. Die gelijke noemer is de uitbreiding van het getalbegrip — number magnitude — naar de breuken. De hypothesen bij da onderzoek liggen voor de hand: bij breuken dezelfde fenomenen en verbanden als bij het eerder genoemde onderzoek met alleen gehele getallen. Dat is een spectaculaire hypothese, omdat onderzoekers tot dan de problemen die zich bij breukrekenen voordoen, als specifiek voor breukrekenen hebben beschouwd. De empirie is scheidsrechter: Siegler cs (2011) rapporteren hun empirisch onderzoek op basis van deze hypothesen.

Voor de thematiek in deze rekenblogs is zeker het volgende van belang:

• • The present findings indicate that understanding of fraction magnitudes and fractions arithmetic are closely related. If learning fraction arithmetic algorithms reflected rote memorization, as has often been claimed (referenties zie p. 292), there would be no reason to expect such a relation. However, the strong correlations between fractions arithmetic and all three measures of magnitude knowledge in both 6th and 8th grades indicate that conceptual and procedural knowledge of fractions are intertwined. [p. 292]

Dat beheersing van breukenalgoritmen niets meer zou zijn dan uit het hoofd leren, is een stelling die ook uit de Freudenthal-groep is te horen, en dient om het belang van breukrekenen weg te wuiven (zie bv. wat Mieke Groenestijn nog over het belang van de staartdeling durft te zeggen, 28 mei 2011 AOB).
Een tegenwerping zou kunnen zijn dat slimmere leerlingen zowel tot beter getalbegrip komen, als beter breukrekenen. Siegler cs hebben die niet onderzocht door ook een intelligentietest af te nemen, maar door slimme analysetechnieken op de data los te laten, en hebben deze verklaring via een derde variabele (intelligentie or whatever) uit kunnen sluiten (par. 3.7 individuele verschillen).

De slotalinea van het artikel vat de strekking van het artikel aardig samen (ik laat de literatuurverwijzingen hier weg):

• • The data from the present study, along with data from previous studies showing beneficial effects on whole number knowledge of instruction that emphasizes numerical magnitudes (e.g., Siegler & Ramani, 2009), indicate that emphasizing that fractions are measurements of quantity might improve learning about fractions. Indeed, a common feature of instructional studies that have yielded especially promising results in teaching rational numbers, such as work by Robbie Case and his associates, is that they emphasize that fractions are measures of quantity (referenties, o.a. Keijzer & Terwel). The present integrated theory of numerical development helps to explain the prevalence of this common fea- ture of successful instruction: If magnitudes are central to understanding fractions as well as whole numbers, then instruction that emphasizes magnitude understanding is more likely to succeed than instruction that does not emphasize magnitude understanding.

Tot de literatuur waarnaar is verwezen behoort ook een onderzoek van Ronald Keijzer (IPABO en Freudenthal Instituut) en Jan Terwel (VU en UvA). Het zal prima onderzoek zijn, Jan kennende, maar ik heb al gezien dat het gaat om een experimentele groep van tien leerlingen, en een controlegroep van eveneens tien. Afijn, toch iets van experimentele toetsing naast ontwikkelingsonderzoek, een ontwikkeling die aanmoediging verdient. Vraag mij de pdf als u geen toegang hebt.

• Ronald Keijzer & Jan Terwel (2003). Learning for mathematical insight: A longitudinal comparative study on modeling. Learning and Instruction, 13, 285–304.

Het onderzoek bestrijkt veel meer punten dan in deze blog genoemd, zie het artikel van Siegler cs. Het is misschien ‘vreemde’ stof, dat was het voor in eerste instantie ook, gun de tekst een tweede keer lezen om de boodschap over te laten komen.

Een boeiende directe link van dit onderzoek, zeker waar het begrip gehele getallen betreft, is naar de thematiek van dyscalculie. Een afzonderlijek blog daarover is zeker op zijn plaats. In de tussentijd: zie de gedachtenwisselen HIER op het forum, met daar ook verwijzingen naar publicaties.

Meer literatuur

• D. Ansari (2008). Effects of development and enculturation on number representation in the brain. Nature Reviews Neuroscience, 9, 278–291. pdf
• J. L. Booth & R. S. Siegler (2008). Numerical magnitude representations influence arithmetic learning. Child Development, 79 , 1016–1031. pdf
• G. B. Ramani & R. S. Siegler (2008). Promoting broad and stable improvements in low-income children’s numerical knowledge through playing number board games. Child Development, 79 , 375–394. pdf
• R. S. Siegler & G. B. Ramani (2009). Playing linear number board games – But not circular ones – Improves low-income preschoolers’ numerical understanding. Journal of Educational Psychology, 101, 545–560. pdf

De blogs t/m # 13

1. Freudenthal 1968: “vrijwel niemand gebruikt later die rekenvaardigheid in de praktijk” [1] blog 7456

2. Freudenthal 1984: “Misslagen zijn zeldzaam; praktisch alle leerlingen bereiken een aanvaardbaar niveau.” [2] blog 7485

3. Inspectie: Scholen gebruiken naast hun realistische rekenmethode additionele methoden voor de basisvaardigheden. [3] blog 7520
   1. Wirwar [3a] blog 7530
4. Realistische rekenreferentieniveaus? Het rekenrapport van de werkgroep-Van Streun [4] blog 7547

5. Het referentiekader rekenen in de praktijk: hoe realistisch is dat? [5] blog 7555

6. De behandeling van het wetsontwerp referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen in de Tweede Kamer, 31 maart 2010 [6] blog 7577

7. Diagnose rekenproblematiek bo, met Harskamp 2007, bijlage A werkgroep-Van Streun [7] blog 7587

8. Rekenkundige bewerkingen, en rekenmachine bij wg-Van Streun en verder [8] blog 7591

9. ‘Handig rekenen’ is sterk doorgedrongen in de staatsrekendidactiek (kerndoelen, referentieniveaus). Maar wat is het? [9] blog 7599

10. ‘Handig rekenen’: wortels, evidentie, receptie, naar Uittenbogaard’s ‘Juliette en Jonas’ [10] blog 7607

11. Waarom de Freudenthal-groep niet onderzoekt of realistisch rekenen wel deugt [11] blog 7616

12. Overzicht na elf blogs: rekent Nederland nog? [12] blog 7633
    1. 2/3 = (alleen realistisch!) 0,66 = 66 % [12a] blog 7677
13. Is het realistisch rekenen theoretisch gefundeerd? Begin van de reis langs zijn beginselen [13] blog 7700

Volgende blog

• 14. Werkblog: Wat hebben rekenonderwijs, rekenproblemen en dyscalculie met elkaar? [14] blog 7707

Voorgenomen blogs

• Wat is er bekend over rekenbijspijkerprogramma’s 1e klassen vo, 1e jaar ho? Zijn deze rekentekorten anders dan de wg-Van Streun suggereert?

• Waarom de Freudenthal-groep niet nagaat of hun theoretische uitgangspunten wel deugen

• Een overzicht van de ontwikkelingen in Wiskobas en FI naar steeds grotere nadruk op hoofdrekenen (zie bv. de dissertaties Van Mulken, 1992; Buijs, 2008), in relatie tot onhandig hoofdrekenen als reden van slechte rekenprestaties (PPON 2004).

• Is het ontwikkelingsonderzoek van de protagonisten van realistisch rekenen ook onderzoek? (Van den Akker e.a. 2006 Educational Design Research. Routledge. pdf)

Ben Wilbrink, onafhankelijk onderwijsonderzoeker website