Eerst maar even de conclusie van deze blog. Die is dat de werkgroep-Van Streun ondanks het duidelijke materiaal uit de PPON 2004 heeft weggekeken van de diepere problematiek in de rekendidactische praktijk in het basisonderwijs begin deze eeuw. Ik gebruik deze formulering bewust, omdat juist de uitwerking van de referentieniveaus rekenen de sterke suggestie wekt dat dit nu een instrument is waarmeee de rekenproblematiek beter beheersbaar is, maar dat kan dus niet waar zijn. Toch is dit het uitgangspunt waarop de wetgeving berust.
Een tegenwerping kan zijn: het gaat toch om doorlopende leerlijnen? Zeker, maar waar niet is, kan niets doorlopen.
Maar met goede rekentoetsen komen we er toch wel uit? Mogelijk, maar het probleem is nu levensgroot geworden — en dat is het onderwerp van de volgende blog — dat de concept-voorbeeld-rekentoetsen zoals die nu bekend zijn (o.a. op de website van Jan van de Craats) GEEN vragen bevatten die serieus de ernstige tekorten in basale rekenvaardigheden adresseren. (Nee, de tekst van die komende blog is er nog niet. Deze volgende stap in dit lopende onderzoek moet nog worden genomen. Deze blogs volgen het onderzoek in real time, als het ware. Neem eraan deel door aan te vullen, tegen te spreken, whatever)
- Egbert Harskamp (200). Reken-wiskunderesultaten van leerlingen aan het eind van de basisschool. Bijlage A bij: Werkgroep-Van Streun (2008). Over de drempels met rekenen. Consolideren, onderhouden, gebruiken en verdiepen. Onderdeel van de eindrapportage van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. pdf
Harskamp en de werkgroep-Van Streun konden in 2007 niet bevroeden dat op basis van hun werk er een wet zou komen die rekentoetsen aan het eind van vo en mbo gaat voorschrijven, en eigenlijk ook aan het eind van het bo. De taak van de werkgroep-Van Streun, en ook van Harskamp, was om naar de rekenprestaties van 12-jarigen te kijken: feitelijk (Harskamp) en gewenst (werkgroep-Van Streun) en dus niet om het rekenonderwijs in de basisschool door te lichten. Harskamp gaat zijdelings wel in op vraag hoe het zo heeft kunnen komen dat 12-jarigen de standaard oplosstrategieën niet meer beheersen, maar er kan en moet bepaald meer over worden gezegd.
Kijk eerst naar de basisgegevens zoals Harskamp die aan de werkgroep presenteert (zijn Tabel 1). Hij stelt de prestaties in 2004 telkens op 250. Waarom niet op 100, zie ik u denken; het is hetzelfde idee, Harskamp volgt mogelijk de PPON-analyse hier. De gemiddelden 1992 en 1997 worden dan ‘genormeerd’ op die van 2004.
Harskamp Tabel 1: Gemiddelde schaalwaarden op de 22 rekenvaardigheden van drie opeenvolgende PPON-metingen met 2004 als ijkpunt.
Getallen en bewerkingen
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
1992 1997 2004 Relevant verschil 1997/ 2004:
(+ = vooruit; - = achteruit)
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
1. getallen en getalrelaties 222 229 250 + (klein tot matig)
2. rekendictee: opt. en aftrekken 239 236 250 + (klein )
3. rekendictee: verm. en delen 260 247 250 0
4. hoofdrekenen: handig opt. en
aftrekken Nvt 250 250 0
5. hoofdrekenen: handig verm. en delen Nvt 252 250 0
6. hoofdrekenen: schatten Nvt 247 250 0
7. rekenen: optellen en aftrekken 271 269 250 - (klein tot matig)
8. rekenen: verm. en delen 299 286 250 - (groot)
9. rekenen: samengest. bew. 259 269 250 - (klein tot matig)
10. rekenen met zakrekenmachine 240 254 250 0
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
Totaal verschil 1997- 2004 Per saldo is er een groot negatief effect
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
Verhoudingen, breuken en procenten
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
1992 1997 2004 Verschil 1997/ 2004:
(+ = vooruit; - = achter uit)
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
11. verhoudingen 250 256 250 0
12. breuken 249 254 250 0
13. procenten 233 240 250 + (klein)
14. tabellen en grafieken nvt 247 250 0
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
Totaal verschil 1997- 2004 Per saldo is er een klein positief effect
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
Meten en meetkunde
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
1992 1997 2004 Verschil 1997/ 2004:
(+ = vooruit; - = achter ut)
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
15. meten: lengte 258 255 250 0
16. meten: oppervlakte 235 252 250 0
17. meten: inhoud 258 255 250 0
18. meten: gewicht 237 246 250 0
19. meten: toepassingen 248 257 250 0
20. meetkunde 256 261 250 - (klein)
21. tijd 260 262 250 - (klein)
22. geld nvt nvt 250 Nvt
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
Totaal verschil 1997- 2004 Per saldo is er twee keer een klein negatief effect
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
Probeer om door de details heen te kijken naar enkele grote lijnen:
- basale rekenvaardigheden 7, 8 en 9 zijn achteruit gehold in 2004
- de andere onderwerpen variëren nauwelijks of niet over de jaren heen, althans qua gemiddelde over alle basisscholieren
- er zijn een aantal vraagtypen die typisch behoren tot het realistisch rekenen, niet tot wat algemeen en onder wiskundigen onder rekenen wordt verstaan
Deze gegevens wijzen op de noodzaak om de ontwikkelingen van de laatste decennia af te zetten tegen de mate van invoering van op realistische leest geschoeide rekenmethoden: met invoering van de euro zijn eigenlijk alle rekenmethoden realistisch; de grote groei heeft over de negentiger jaren heen plaastgevonden. De daling in basale rekenvaardigheden gaat — toevallig of niet — samen met de verspreiding van het gedachtengoed van het FI waarin geringschattend wordt gedaan over basale rekenvaardigheden en de noodzaak er nog maar enige aandacht aan te schenken in het onderwijs. Omdat het FI en zijn voorgangers stelselmatig hebben nagelaten hun claims en methoden empirisch te onderbouwen, rust de bewijslast dat het beschreven verband alleen maar toevallig is, op het FI.
Wat heeft de werkgroep-Van Streun met dit gegeven gedaan? Op zijn minst wijst het op de noodzaak om een onderscheid te maken naar rekenprestaties over de hele breedte, en die voor de basale rekenvaardigheden. Door alle aandacht te richten op de specificatie van referentieniveaus over de heel breedte (en breder dan dat, want ook ‘handig’ rekenen beschouwt de werkgroep-Van Streun als behorend tot het rekendomein), heeft de commissie het probleem met de basale rekenvaardigheden ten onrechte verwaarloosd.
Uitsplitsing van de data naar groepen leerlingen met verschillende bestemmingen in het vo maakt het mogelijk meer inzicht in deze kwestie te krijgen.
Harskamp Tabel 2: Percentage van voorbeeldopgaven dat leerlingen die uitstromen naar verschillende typen voortgezet onderwijs goed beheersen (meer dan 80% kans op goed) in 2004
BGL: beroepsgerichte leerweg (14%) — KB: Kaderberoepsgerichte leerweg (13%) — TGL: theoretische en gemengde leerweg (ooit mavo) (31%) — H/V: havo/vwo (40%)
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
Getallen en bewerkingen
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
BGL KB TGL H/V
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
1. getallen en getalrelaties 30 37 53 80
2. rekendictee: opt. en aftrekken 73 87 97 100
3. rekendictee: verm. en delen 37 73 83 93
4. hoofdrekenen: handig opt. en aftrekken 28 56 61 83
5.hoofdrekenen: handig: verm. en delen 22 39 44 78
6. hoofdrekenen: schatten 19 23 44 81
7. rekenen: optellen en aftrekken 0 0 38 67
8. rekenen: verm. en delen 0 17 17 50
9. rekenen: samengest. bew. 0 7 7 33
10. rekenen met zakrekenmachine 7 7 13 47
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
Totaal gemiddeld 22 35 46 69
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
Verhoudingen, breuken en procenten
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
BGL KB TGL H/V
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
11. verhoudingen 13 20 50 83
12. breuken 17 30 57 83
13. procenten 10 17 40 60
14. tabellen en grafieken 0 8 33 50
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
Totaal gemiddeld 10 19 45 69
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
Meten en meetkunde
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
BGL KB TGL H/V
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
15. meten: lengte 5 17 33 44
16. meten: oppervlakte 0 5 5 50
17. meten: inhoud 0 0 17 50
18. meten: gewicht 0 17 39 72
19. meten: toepassingen 13 25 38 72
20. meetkunde 8 25 25 50
21. tijd 20 33 47 73
22. geld 8 33 42 67
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
De titel van bovenstaande tabel bevat een lastige opgave in rekenen met percentages. Ik ben er niet zeker van dat ik het goed begrijp. Interpreteer de gegevens terughoudend, kijk naar de verhoudingen. Als er in de tabel 0 staat, is er geen enkele vraag in het subdomein die door tenminste 80% van de leerlingen met de betreffende bestemming vo goed wordt gemaakt. Dit verdient allemaal niet de schoonheidsprijs, maar het zal wel een reden hebben. Dus: 0 % betekent NIET dat geen enkele vraag door de betreffende groep leerlingen goed wordt beantwoord.
Voor percentages goed beantwoorde vragen, zie onderstaande histogrammen die dat aangeven, weliswaar gemiddeld per domein (getallen — verhoudingen — meten), maar het beeld is verpletterend duidelijk.
Terug naar Tabel 2. Uit Tabel 1 bleek dat basale rekenvaardigheden 6, 7 en 8 van 1992 naar 2004 stevig waren teruggevallen. Dan zal dat in Tabel 2 ook wel in de cijfers te zien zijn. En dat is zo: maar de cijfers zijn dramatischer dan alleen op basis van Tabel 1 al was te verwachten: de havo/vwo-groep doet het werkelijk beroerd slecht, en de andere groepen komen daar nog weer royaal onder te zitten. Let op: dat betekent dat onderstaande histogrammen voor het domein getallen een vertekend beeld geven: de makkelijke rekendictees en het handig rekenen maskeren het enorme probleem bij de basale rekenvaardigheden.
Het domein meten doet het in de PPON ook heel belabberd, en dat doet de vraag rijzen of wat in het huidige rekenonderwijs wordt aangeduid met meten en meetkunde, wel thuishoort in het basisonderwijs. Voor meetkunde is de verdenking dat vragen vooral ruimtelijk inzicht testen, en dat is een aspect van intelligentie, niet iets dat bij uitstek op school geleerd kan worden. Hetzelfde intelligentie-vermoeden ook bij het subdomein tabellen en grafieken.
Opmerkelijk zijn de beroerde prestaties bij rekenen met de rekenmachine. Maar wat dit betekent hangt wel af van wat precies wordt verstaan onder rekenmachine-opgaven. Het is een zorgelijk punt, want wat moeten basisscholieren nu helemaal met een zakrekenmachine: hebben ze die vaardigheid nodig voor het vo? Ik dacht het niet. Voor het dagelijks leven over, zeg, tien jaar? Dat lijkt me stug. Punt van aandacht, dus. Zie ook hierbeneden wat Harskamp over dit thema zegt (citaat).
Wat een rekendictee is, dat weet ik niet. Daarvoor moet ik te rade bij de PPON-rapportages, en dat kost weer extra tijd.
Dit alles is gezegd onder het voorbehoud dat niet naar de inhoud van de vragen in de PPON is gekeken, of naar de wijze waarop de PPON-toetsen zijn ontworpen en vooraf onderzocht op hun toetseigenschappen. In theorie is het mogelijk dat toetsontwikkelaars de toetsen zo ontwerpen dat verschillen tussen domeinen en subdomeinen weggewerkt zijn. De tabellen laten zien dat daar geen sprake van is. Ik verwacht dat bovenstaande voorlopige conclusies in stand blijven, ook wanneer in detail gekeken zou zijn naar de eigenschappen van de gestelde vragen in de PPON. Ze zouden wel aangescherpt kunnen worden, dus het is zeker nodig om ook de vragen zelf in de analyses te betrekken (in de volgende blog, waarin op vraagniveau bekeken gaat worden wat er wel en niet in de concept-voorbeeld-rekentoetsen van de toetswijzercommissie zit).
BGL: beroepsgerichte leerweg (14%) — KB: Kaderberoepsgerichte leerweg (13%) — TGL: theoretische en gemengde leerweg (ooit mavo) (31%) — H/V: havo/vwo (40%)
Domeinen: 1 getallen, 2 verhoudingen, 3 meten.
De PPON geeft ook informatie over het onderwijsaanbod. Dat brengt Harskamp tot de volgende overweging:
-
- “In 1997 gebruikte 74% van de leerlingen een consistente strategie, meestal het traditionele cijferen en dit leidde vaak tot een correct antwoord. Er werd niet vaak een kolomsgewijze aanpak gebruikt. De achteruitgang in bekwaamheid op het gebied van cijferen zou dus voor een deel aan de gehanteerde cijferdidactiek kunnen liggen. De gegevens die het Cito verzamelde over het onderwijsaanbod (hoofdstuk 3 van het rapport PPON, 2004) laten zien dat de leerkrachten in de bovenbouw vaak het cijferend optellen, aftrekken en vermenigvuldigen aanleren, nadat kinderen in de middenbouw (groep 6) dit eerst kolomsgewijs hebben geleerd. Maar veel leerkrachten in de bovenbouw laten ook beide strategieën door elkaar gebruiken. Het delen blijft in de bovenbouw vaak kolomsgewijs met soms keuze uit staartdelen (cijferen) en kolomsgewijs rekenen. Het lijkt met andere woorden in de praktijk te ontbreken aan een consistent uitgevoerde didactiek voor de bewerkingen. Daarbij moet worden opgemerkt dat het kolomsgewijs rekenen bij leerlingen vaker tot fouten leidt dan het cijferend rekenen. Het is van daaruit wellicht begrijpelijk waarom leerkrachten van de bovenbouw naar het traditionele cijferen grijpen en de realistische didactiek op dit punt laten voor wat die is.”
Voor de duidelijkheid: ‘kolomsgewijs’ rekenen is een uitvinding van de Wiskobas-groep rond Hans Freudenthal — een soort retro-rekenen als je enkele eeuwen terug wilt gaan — en ‘cijferend’ rekenen is het rekenen met standaardmethoden die altijd tot het antwoord leiden.
De werkgroep-Van Streun krijgt deze analyse aangereikt, en gaat desondanks door met het paard achter de wagen te spannen (verfijnen van kerndoelen) in plaats van voor de wagen (de misvattingen in het rekenonderwijs aan de kaak stellen en alternatieven aanreiken). Hoe moet ik dat begrijpen? Is Harskamp niet scherp genoeg geweest? Had hij er echt bij moeten vermelden dat de opvattingen van het FI over rekenen niet berusten op empirische evidentie, maar dat er voor de schade die deze opvattingen aanrichten nu wél empirische evidentie is? In paarden-metafoor: je kunt een paard wel naar het water brengen, maar het niet dwingen om te drinken.
De gebruikelijke handelwijze van commissies is dat zij expert-rapportages tijdig laten maken om ze in hun werk te kunnen benutten. Ik krijg informatie dat de bijlage van Harskamp pas beschikbaar was toen het rapport al vergaand was geschreven. Maar hoe gaat zoiets bijvoorbeeld in academia: als een scriptie of proefschrift op het laatste moment een belangrijke lacune heeft, dan zal die toch eerst aangevuld moeten worden. Het blijft dus onbegrijpelijk dat de werkgroep-Van Streun het rapport heeft uitgebracht zoals zij het heeft uitgebracht.
-
- “Nu zou men kunnen denken dat een achteruitgang in het kunnen uitvoeren van de hoofdbewerkingen niet zo onverwacht is. Immers, blijkens de Cito-gegevens in de PPON-peilingen gebruiken leerkrachten door de jaren heen meer en meer de zakrekenmachine in hun onderwijs. Maar, het blijkt dat de leerlingen geen beter gebruik van de zakrekenmachine gaan maken. Leerlingen kunnen minder goed rekenen dan vroeger, maar zijn niet meer bedreven in het gebruik van de zakrekenmachine voor het oplossen van toepassingopgaven die veel rekenwerk vragen. De achteruitgang in rekenvaardigheid wordt niet gecompenseerd”
Die rekenmachine is een stoorzender van jewelste, en de werkgroep-Van Streun merkt er weinig of niets van. Het gaat evident in het basisonderwijs al mis. Wat moet dat in het voortgezet onderwijs dan worden? Het vermoeden is toch, met de werkgroep-Van Streun meedenkend dat het in het vo vooral gaat om consolideren van al opgedane rekenvaardigheden, dat toestaan van het gebruiken van een rekenmachine dat verdraaid lastig gaat maken. Wat is dat toch, die fascinatie met gadgets als radio, film, tv, teaching machines, de videorecorder, computers en zakrekenmachines? Altijd weer dat verlangen naar makkelijke oplossingen voor onderwijsproblemen, oplossingen waar de industrie steevast de mogelijkheden voor onder de aandacht zal brengen (zie hier voor een kritisch stuk ooit voor OCW geschreven).
Na de PPON 2004 bleek het mogelijk om in de verslaglegging ook aandacht te besteden aan de oplosstrategieën bij de deelsommen: Kees van Putten kon gedetailleerd laten zien hoe typisch realistische didactiek zoals hierboven door Harskamp al aangeduid, ertoe heeft geleid dat Nederlandse leerlingen de standaardaanpak voor delen niet meer beheersen en daardoor tot onjuiste antwoorden komen. Latere publicaties, zoals van Hickendorff, Heiser en Van Putten, gaan dieper in op deze problematiek; daar is door Marja van den Heuvel-Panhuizen, Adri Treffers en anderen een repliek op gekomen (2009). Voor de volledigheid neem ik al deze publicaties in de literatuurlijst hierbeneden op, ook de publicaties na 2007 waar de werkgroep-Van Streun geen weet kon hebben. Een en ander heeft in de jaren erna tot heftige discussie over de staartdeling geleid, waardoor misschien teveel naar de achtergrond is verdwenen dat er meer problemen zijn met het realistisch rekenen dan alleen het kolomrekenen en het happend rekenen. Een autobiografisch boek van Adri Treffers is in zekere zin het beste overzicht van het gedachtengoed van waaruit het realistisch rekenen is vormgegeven en krachtig verspreid, misschien wel omdat het een oprecht boek is en niet nadrukkelijk een verdediging is tegen kritiek van buiten het FI.
literatuur
- Werkgroep-Van Streun (2008). Over de drempels met rekenen. Consolideren, onderhouden, gebruiken en verdiepen. Onderdeel van de eindrapportage van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. pdf
- Commissie-Meijerink / werkgroep-Rijlaarsdam-van den Berg / werkgroep-Van Streun (2008). Referentiekader taal en rekenen. De referentieniveaus. Taal. Rekenen. Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. pdf
- Egbert Harskamp (200). Reken-wiskunderesultaten van leerlingen aan het eind van de basisschool. Bijlage A bij: Werkgroep-Van Streun (2008). Over de drempels met rekenen. Consolideren, onderhouden, gebruiken en verdiepen. Onderdeel van de eindrapportage van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. pdf
- Jan van de Craats (18 september 2007). Vergelijking van ‘PPON 2004’ met ‘Rekenvaardigheden op de basisschool’. Discussiestuk ten dienste van de Werkgroep Rekenen van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal. pdf
-
Jan van de Craats (2009). TIMSS 2007 — Feiten en meningen. Nieuw Archief voor de Wiskunde, september 2009, 165-167. pdf
- Marja van den Heuvel-Panhuizen, Alexander Robitzsch, Adri Treffers and Olaf Köller (2009). Large-Scale Assessment of Change in Student Achievement: Dutch Primary School Students’ Results on Written Division in 1997 and 2004 as an Example. Psychometrika, 74, 367-374. pdf
- Marian Hickendorff, Willem Heiser, Cornelis van Putten, Norman Verhelst (2009). Solution Strategies and Achievement in Dutch Complex Arithmetic: Latent Variable Modeling of Change. Psychometrika, 74, 331-350. open access pdf
- Marian Hickendorff, Willem Heiser, Cornelis van Putten, Norman Verhelst (2009). How to Measure and Explain Achievement Change in Large-Scale Assessments: A Rejoinder. Psychometrika, 74, 367-374. online
- Marian Hickendorff, Cornelis van Putten, Norman D. Verhelst & Willem J. Heiser (2010). Individual Differences in Strategy Use on Division Problems: Mental Versus Written Computation Journal of Educational Psychology, 102, 438-452. abstract
- C. M. van Putten (2005). Strategiegebruik bij het oplossen van deelsommen. In Jan Janssen, Frank van der Schoot en Bas Hemker: Balans [32] van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool. 4. Uitkomsten van de vierde peiling in 2004. (125-131). Cito. pdf
- C. M. van Putten (2008). De onmiskenbare daling van het prestatiepeil bij de bewerkingen sinds 1987. Een reactie. Panama-Post, 27, nr 1. pdf
- Adri Treffers (2010). Het rekentheater. Een autobiografische rekenroman. Uitgeverij Atlas.
- Ben Wilbrink. Aantekeningen bij Treffers’ Het rekentheater hier
Voorgaande blogs
- Freudenthal 1968: “vrijwel niemand gebruikt later die rekenvaardigheid in de praktijk” blog 7456
- Freudenthal 1984: “Misslagen zijn zeldzaam; praktisch alle leerlingen bereiken een aanvaardbaar niveau.” blog 7485
- Inspectie: Scholen gebruiken naast hun realistische rekenmethode additionele methoden voor de basisvaardigheden. blog 7520
- Realistische rekenreferentieniveaus? Het rekenrapport van de werkgroep-Van Streunblog 7547
- Het referentiekader rekenen in de praktijk: hoe realistisch is dat? blog 7555
- De behandeling van het wetsontwerp referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen in de Tweede Kamer, 31 maart 2010 blog 7577
Volgende blog
- Rekenkundige bewerkingen, en rekenmachine bij wg-Van Streun en verder blog 7591 Gaat in feite over staatsrekendidactiek sinds 2006
Voorgenomen blogs
- De komende rekentoetsen vo: wat zit daar in, wat niet? Zie alvast post 61979 en hier voor de toetsen zelf.
- Een overzicht na acht blogs: hoe de Nederlandse rekenproblematiek NIET wordt gedaresseerd in het wetgevingstraject. Zie alvast post 61980.
Realistische toetsen
Een andere opvallende passage in het stuk van Harskamp:
De scores op de opgaven uit de eerste peiling van rekenen-wiskunde uit 1987 zijn [..] niet goed vergelijkbaar met de scores op de opgaven van 2004. Volgens het Cito komt dat omdat in de loop van de jaren het onderwijs verandert en als gevolg daarvan de eigenschappen van de opgaven mee gaan veranderen. De peilinggegevens van 1992, 1997 en 2004 zijn doorgaans wel vergelijkbaar.
Het lijkt duidelijk dat Harskamp hier aangeeft dat de PPON opgaven ‘realistischer’ zijn geworden. De achteruitgang in bewerkingen komt desondanks naar voren omdat deze niet geheel uit de PPON opgaven zijn gehaald. Echter, dat er volgens PPON geen sprake is van achteruitgang in ‘breuken’ komt heb ik het vermoeden doordat de pertinente vragen over breuken gewoon niet gesteld worden (vanwege ‘veranderend onderwijs’).
Veranderend onderwijs
Beste Mark,
Je stipt een belangrijk punt aan.
Zodra men het gaat hebben over ‘veranderd onderwijs’ moeten alle stormballen worden gehesen. In ieder geval bij rekenonderwijs is het al gauw het geval dat die veranderingen zijn geïnspireerd door een rekenideologie (een internationaal fenomeen, en zeker niet beperkt tot alleen de laatste decennia — Math Wars and all the rest of it). De impact van dergelijke verandering kan verborgen blijven omdat ook de toetsen en examens meeveranderen. Een veelbetekenend voorbeeld daarvan (al eerder gemeld op het forum) is dat het huidige leerlingvolgsysteem van het Cito (basisschool) geen toetsen op basale rekenvaardigheden bevat, zodat er niets te volgen valt in dit systeem. De tweede editie van het leerlingvolgsysteem heeft wél weer aandacht is voor deze rekenvaardigheden. Het Cito gaat die tweede editie uitrollen, te beginnen voor groep drie. Het gaat dus nog een jaar of wat duren voordat de vorderingen van alle leerlingen op basale rekenvaardigheden met het Cito-volgsysteem zijn bij te houden. Ha, dan is er nog de Cito Eindtoets Basisonderwijs, toch? Zeker: daarin komen basale rekenvaardigheden eigenlijk niet voor, die laten zich ook niet goed toetsen met meerkeuzevragen. Lastig, hè.
Het is dus vrijwel zeker dat de PPON 2004 een onderschatting geeft van de rekenzwakheid van het huidige basisonderwijs, de basale rekenvaardigheden.
In de volgende blog, over de concept-voorbeeld-rekentoetsen vo, zal juist naar de aard van de afzonderlijke vragen worden gekeken (ook voorbeeldvragen van de werkgroep-Van Streun, PPON-vragen, rekenvragen in de Cito-toets). Ik heb daar hulp van wiskundigen en leraren wiskunde bij nodig.
Cijferen
Het kan sommige lezers verbazen dat ik in deze blog geen aandacht besteed aan het argument van het FI — zie bijv. de oratie van Marja van den Heuvel-Panhuizen — dat het destijds (eind tachtiger jaren) toch een bewuste keuze is geweest om in het basisonderwijs aan het traditionele ‘cijferen’ minder aandacht te gaan besteden.
Deze kwestie is op een bepaalde manier zeker relevant, maar zou afleiden van de kern van de zaak: dat de tekorten in het Nederlandse rekenonderwijs, zoals empirisch vastgesteld, liggen in de basale rekenvaardigheden. Dat is: in wat het FI ‘cijferen’ noemt.
In historisch onderzoek is het zeker van belang om vast te stellen hoe dit verhaal in de wereld is gekomen: heeft Nederland werkelijk ingestemd met minder aandacht voor basale rekenvaardigheden? Hoorden de leraren wiskunde uit het vo ook bij de instemmers? En de docenten wiskunde in het HO? Nederlandse wiskundigen? Is het parlement hierin betrokken, of heeft dit alles zich afgespeeld buiten onze politieke democratie om?
Waren de voorstellen destijds (zie bijv. Treffers, de Moor & Feijs, 1989) gebaseerd op degelijk empirisch onderzoek? Absoluut niet, dat onderzoek was er niet.
1 plus 2 maal 3
[met toestemming van Henk Pfaltzgraff doorgeplaatste boodschap]
Beste mensen. Inderdaad, het onvermogen tot automatiseren heeft in het internet tijdperk groteske vormen aangenomen, een soort atrofie van het hersenweefsel.
Ter illustratie een paar recente, waarheidsgetrouwe voorbeelden uit mijn wiskundelessen:
0:3=0 was niet uit te leggen aan drie meisjes uit een derde klas vmbo(t) vanwege het taalprobeem (delen door en delen op). Zelfs niet toen ik demonstratief mijn portemonnee trok, er nul euro uithaalde om te verdelen over die drie meisjes. Aan 3:0 durfde ik daarna niet meer te beginnen.
2x3x4 leidde tot grote consternatie in een klas 5havo wiskunde A, waar pas na lang doorvragen iemand met het goede antwoord kwam.
1+2×3 ging niet alleen fout in groep 7 (waar mijn kleinkind in zit en ook de juf het goede antwoord niet wist), maar leidde ook in mijn examenklas (vwo wiskunde B) tot meningsverschillen, dat kwam mede doordat het rekenmachientje op de (smart)phones de verkeerde uitkomst geeft. Probeer maar eens…
Mijn eerste tentamen (wiskunde B zesde klas VWO) bevat traditiegetrouw uitsluitend elementaire reken- en algebraopdrachten, die alle gemakkelijk zonder rekenmachientje gemaakt kunnen (moeten) worden. Desondanks zoemt er tijdens de examenzitting gezellig een ratelend tikgeluid door de klas, niemand (ook de betere rekenaars niet) durft zijn rekenmachine met rust te laten, bang om fouten te maken in 6×9 en12/3.
En dan een ervaring thuis, een paar dagen geleden:
3x(2/3) en (2/3)x3 leidde aan onze eettafel tot felle discussies, waar mijn realistisch opgevoede kleinkind (groep 7) helemaal niet uitkwam, haar vriendinnetje na lang nadenken wel uit de eerste maar niet uit de tweede som kwam (dat vriendinnetje krijgt ouderwets rekenbijles, mijn kleinkind ‘heeft het nog niet gehad’ en ik geloof haar).
Ik blijf lachen.
Groet van
Henk Pfaltzgraff
Smartphones
Het kan allemaal nog erger. Een (niet zo smart) phone geeft inderdaad het verkeerde antwoord op 1+2×3. Ik heb voorstellen gehoord om de prioriteitsregels dan maar overeenkomstig te veranderen, dus 1+2×3 zou dan (1+2)x3 worden in plaats van 1+(2×3). Dat alle algebra dan de deur uitgaat (polynomen worden vrijwel onmogelijk om op te schrijven), daar lijken deze mensen geen idee van te hebben……
Welke ‘smart’phones zijn dat dan?
De calculator van de mijne (Windows Mobile 6.5) geeft namelijk het juiste antwoord, 1+(2×3)=7.
Los daarvan is het natuurlijk van de zotte dat ze dat blijkbaar niet zelf kunnen…
De ene rekenmachine is de andere niet?
De iPhone-rekenmachine geeft bij achtereenvolgens intikken (gedachtenloos intikken):
1 + 2 x 3 = 7
Begrijp ik het goed dat de ene rekenmachine dan een juist resultaat geeft, een andere misschien een onjuist resultaat? Is er hoop op dat de industrie dit ooit standaardiseert?
Dat is een reden temeer om de rekenmachine uit scholen en universiteiten te verbannen, tenzij uitdrukkelijk nodig.
Ik ben hopeloos ouderwets, gebruik nooit een rekenmachine meer. In de oudheid moest je vooral goed bestuderen hoe jouw TI te bedienen: eerst twee getallen invoeren, dan aangeven wat ermee moest gebeuren, etc. In feite dus een minimale stack (geheugen) waarmee gewoekerd moest worden.
Havo Wiskunde A normale verdeling: les in Casio en TI
De lessen over normale verdeling van een wiskundemethode die ik twee jaar geleden onder ogen kreeg bestonden voornamelijk uit twee konppencursussen: een voor de casio en een voor de TI.
De ene rekenmachine is de andere niet
Inderdaad is de ene rekenmachine de andere niet. Op mijn mac worden 2 rekenmachines bijgeleverd: de ene geeft voor 1+2×3 als antwoord 9 en de andere geeft als antwoord 7 (het is die laatste rekenmachine die ook op de iphone staat).
V&D
Het laatste dat ik mijn leerlingen scheen te moeten leren was, dat meneer ‘Van Dale Wacht Op Antwoord’ achterhaald was en in het onderwijsmuseum kon worden bijgeschreven.
Nu was het zo geworden dat vermenigvuldigen en delen voorrang hadden, en dat daarna werd opgeteld en afgetrokken in volgorde van de opdracht zoals omschreven in de som.
Dus hamerde ik het erin: V&D EERST!
Over de volgorde van V&D weet ik niets meer.
Waarschijnlijk waren de sommen dusdanig aangepast dat deze vraag niet beantwoord hoefde te worden.
Volgens die nieuwste inzichten (minstens al weer 10 jaar oud) geeft i-phone dus het goede antwoord: 7.
Nieuwe regel
Weg Met Die Achterhaalde Onzin.
Deze rekenmachines horen niet in het onderwijs thuis
Zolang er rekenmachines zijn die tegen de wiskundige afspraken in werken, hoort alleen al om die reden geen enkele rekenmachine in het onderwijs thuis. Dat lijkt me een kwestie van zindelijkheid in het rekenonderwijs.
Op een bekende door Texas Instruments gesponsorde website rekenbeter.nl is summiere informatie te vinden, en de aanbeveling dat je maar het beste de volgorde kunt aangeven door haakjes te gebruiken. Die aanbeveling lijkt me in de omgekeerde wereld thuis te horen.
waarom moeilijk doen?
Ik vind die afspraken erg duidelijk.
Het blijven toch gewoon afspraken die we de kinderen leren.
Ik kan de afspraken zoals Rekenbeter die formuleert heel goed aanleren. Ze zijn duidelijk en kennelijk ook internationaal. Prima dus.
Ook helder voor de kinderen.
Het is inderdaad niet zo
Het is inderdaad niet zo moeilijk om dat soort fouten te vermijden door in geval van twijfel haakjes te gebruiken. Na een tijdje ken je de eventuele valkuilen van het rekenmachientje wel als je steeds kritisch kijkt ofdat de uitkomsten wel kunnen kloppen.
Desalniettemin lijkt het mij verstandig om weinig gebruik te maken van een rekenmachientje tijdens de wiskundelessen zolang er methodes beschikbaar zijn die hierop zijn afgestemd (op universitair niveau kan dit gemakkelijker door dictaten te gebruiken, op V.O.-niveau ben je afhankelijk van wat de uitgevers je voorschotelen.
1. Het is niet al te moeilijk om opgaven op te stellen die je zonder rekenmachientje kan oplossen
2. Er is geen reden om een log(15), cos(0,56) of sqrt(2) uit te rekenen, dit zijn prima getallen en vaak zijn ze nauwkeuriger dan wanneer je twee of drie van de tig decimalen opschrijft
3. Het lijkt me verstandig om te oefenen met algebraïsche bewerkingen, denk hierbij bijv. ook aan het vereenvoudigen met goniometrische gelijkheden, het vermenigvuldigen of delen van logaritmen met of door logaritmen etc.
Door wel tijdens natuurkunde of scheikunde het gebruik van het rekenmachientje toe te staan leer je voldoende om met zo’n apparaatje te werken, nietwaar?
Lieve Maria
Herinnering: actie ‘Lieve Maria’
Dat gaat weliswaar over tekortschietend wiskundeonderwijs, maar daar het tekostschietend rekenonderwijs ongetwijfeld ook mee te maken.