Concrete misleiding over abstract wiskunde-onderwijs

In twee eerdere draden is gediscussieerd over effecten van concreet en abstract wiskunde-onderwijs: hier en daar dus. 18 Mei jl. ontving ik van Pauline Vos haar niet geplaatste ingezonden brief (Trouw) met het verzoek deze onder de aandacht van dit forum te brengen. Mevrouw Vos stuurde ook een link mee naar een recent artikel in Vrij Nederland van Tomas Vanheste waarin de ingezonden brief ter sprake komt.
Tomas Vanheste: Rekenoorlog

Hier volgt haar ingezonden brief; ze heeft gelijk, denk ik.
Overigens verkeert ze tot 3 juni buitenlands en zal ze tot die datum naar ik verwacht niet aan een discussie kunnen deelnemen.
Willem Smit

Ingezonden brief Trouw

Concrete misleiding over abstract wiskundeonderwijs

door dr. Pauline Vos
onderzoeker reken/wiskundeonderwijs
Rijksuniversiteit Groningen

In het artikel ‘Wiskundeleerling niets wijzer van voorbeelden’ in Trouw van 25-04-2008 wordt een wetenschappelijke publicatie uit de Science aangehaald. De kern van het artikel wordt voor de Trouw-lezers samengevat als “leerlingen die een wiskundig principe krijgen geleerd met praktische voorbeelden, weten niet hoe ze dat principe moeten toepassen op nieuwe situaties. Als hen het abstracte idee zelf wordt onderwezen, beheersen ze die toepassing veel beter.”
Ik heb het oorspronkelijke artikel er maar eens op nageslagen. Daarin beschrijven de onderzoekers experimenteren met psychologiestudenten en veralgemeniseren hun resultaten naar alle leerlingen. Zij maken hier een eerste fout, namelijk dat je leerprocessen van hoger opgeleide volwassen niet zonder problemen kunt doortrekken naar anderen, zoals leerlingen op basisschool en vmbo.

De titel van het artikel in Science, ‘The Advantage of Abstract Examples in Learning Math’ geeft al aan, dat de onderzoekers onderscheid maken tussen abstracte en concrete voorbeelden. Het gaat dus om het onderwijzen van abstracte principes uit de wiskunde door gebruik van enerzijds abstracte en anderzijds concrete voorbeelden. Wat is een abstract voorbeeld? Laat ik een voorbeeld geven: bij het optellen van getallen maakt de volgorde niet uit. Dus: eerst de ene en dan de andere geeft hetzelfde resultaat als andersom. Een concreet voorbeeld is dan: 23+45=45+23, en een abstract voorbeeld werkt met symbolen: a+b=b+a. Het abstracte principe noemen we de commutativiteit van de optelling.
In het artikel nemen de onderzoekers echter niet de optelling van getallen zoals hierboven, maar iets uit de wiskunde op universitair niveau, de groepentheorie, en gaat het over een ‘Commutatieve Groep van Orde 3’. Dit voorbeeld is zo gekozen, dat de proefpersonen, net als de gemiddelde Trouw-lezer, niet weet wat het is en hoe het werkt. De proefpersonen worden in verschillende groepen gedeeld en leren onder verschillende omstandigheden. Daarna worden hun prestaties vergeleken.
De proefpersonen in de ene groep kregen alleen concrete voorbeelden voorgelegd, bijvoorbeeld een pizzeria waar de kok altijd een deel van de pizza’s verbrandde. Hij had daarvoor vaste regels en deze werden uitgelegd aan de hand van tekentjes in de vorm van het Mercedes-embleem, met grijs-gemaakte delen. De tekentjes stelden pizza’s voor en het ging erom, dat Antonio, de kok, bij elke bestelling een deel van de pizza’s verbrandde. Twee van de regels waren bijvoorbeeld ‘als je tweederde pizza en tweederde pizza bestelt, dan verbrandt Antonio eenderde pizza’ en ‘als je een gehele pizza erbij besteld, dan blijft het verbrande deel hetzelfde’. De andere concrete voorbeelden waren al net zo kunstmatig geconstrueerd: emmertjes met water die met elkaar werden gemengd en vervolgens een deel van het water weer werd weggegooid (volgens een ingewikkeld systeem van regels) en een tennisballenfabrikant die houders produceert waarin drie ballen zouden passen, maar de fabrikant doet er niet altijd drie in, maar soms één en soms twee (volgens een ingewikkeld systeem van regels). Deze voorbeelden waren weinig levensecht, niet herkenbaar en kunstmatig geconstrueerd, en het zal niemand verbazen dat de proefpersonen er geen hout van bakten. Maar wat me nog meer verbaasde, was dat de onderzoekers deze voorbeelden aanduidden met ‘concreet’.

De proefpersonen in de tweede groep, aangeduid als de conditie van ‘het abstracte voorbeeld’, kregen een tekst over de archeologische vondst van een klei-tablet met tekentjes. Er waren maar drie soorten tekentjes: vlag, ruit en bol en hier hoorden allerlei vertaalregels bij om de geheimtaal te ontcijferen. Het abstracte voorbeeld was dus net zo onzinnig en kunstmatig gecreëerd. Maar wat erger is: het is voorzien van een betekenis (een geheimtaal ontcijferen), en is daarmee dus helemaal niet abstract!
Wat verder opvalt, is dat ook aan deze proefpersonen niet in abstracte termen werd uitgelegd wat een ‘Commutatieve Groep van Orde 3’ is. Ze kregen slechts het pseudo-archeologische voorbeeld. In geen enkele van de groepen werd dus abstracte wiskunde onderwezen.
Worden de proefpersonen vervolgens getest op hun kennis van de Commutatieve Groep van Orde 3 en de wiskundige principes daarin? Nee, alle proefpersonen krijgen aan het einde van het experiment één test en deze bestaat uit alweer een onzinnig voorbeeld: een spel waarbij kinderen (in een ver land, aldus de tekst) wijzen naar een vaas of een ring of een lieveheersbeestje. Als ze dit volgens een bepaalde afspraak doen, dan wint de laatste. De auteurs geven niet aan of dit een concreet, dan wel een abstract voorbeeld is, maar dit voorbeeld bevat ook een geheimtaal element (kinderen in een ver land) en heeft daarmee meer verwantschap met het archeologische voorbeeld dan het pizza-voorbeeld. Geen wonder dat de proefpersonen van de archeologische geheimtaal het beter doen dan de andere proefpersonen. Maar wat een wetenschappelijke miskleun van de eerste orde is, is om uit deze rare voorbeelden (de concrete voorbeelden zijn niet concreet en het abstracte voorbeeld is niet abstract) generaliserende conclusies te trekken met betrekking tot het leren van abstracte principes in de wiskunde.